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Olympiades 1ère S 2011

 

Exercice 1 (national, zone Europe-Afrique-Asie)

Essuie-glace

Les trois questions sont indépendantes.

On se propose de calculer l'aire de la surface balayée par trois modèles de balais d'essuie-glace d'un véhicule. On considérera que les pare-brises sont des surfaces planes.

1) Un permier véhicule est équipé d'un seul balai porté par une tige métallique de 60cm, assimilée à un segment [OB]. Soit A le point de [OB] tel que la distance OA=15cm. Le balai en caoutchouc est alors modélisé par le segment [AB] (voir figure ci-dessous).


Déterminer la valeur exacte de l'aire de la surface balayée par le balai, en admettant que celui ci décrit autour du point O un angle de 180°. En donner une valeur approchée au cm2 près.

2) Le pare-brise d'un second véhicule possède deux essuie-glaces modélisés par deux segments [OB] et [OB'] de même longueur R, l'un tournant autour d'un point O, l'autre autour d'un point O', tels que OO'=R (voir figure ci-dessous).


Ces balais en caoutchouc couvrent la longueur totale de chaque segment. L'extrémité de chaque segment décrit un demi-cercle au dessus de la droite (OO'). Déterminer l'aire de la surface du pare-brise essuyée par les balais.

3) Un troisième véhicule est équipé d'un essuie-glace dont le support métallique est modélisé par la réunion de deux segments : un segment [AB], qui porte le balai en coutchouc sur toute sa longueur, et un segment [OC] qui relie le centre de rotation O à un point C du segment [AB] tels que angle(OCA)=30°, CB=4CA et OC=√3×CA (voir figure ci-dessous).


On pose CA=a.

a) Démontrer que le triangle CAO est isocèle.

b) Lorsqu'il essuie le pare-brise du véhicule, l'essuie-glace tourne autour du point O. En début de course le balai est en position horizontale : les points A,B et C coïncident respectivement avec les points M, N et P du pare-brise tels que [MN] est horizontal ; en fin de course A, B, C coïncident respectivement avec les points M', N', P' du pare-brise tels que le segment [OM'] est horizontal (voir figure ci-dessous).


Déterminer l'angle dont a tourné le dispositif autour du point O pour passer d'une position à l'autre, puis exprimer, en fonction de a, l'aire de la surface balayée par le balai.

Exercice 2 (national, zone E-A-A)

Le singe sauteur

Préférant que les singes restent dans leur habitat naturel (au lieu de se balader sur une droite graduée) je modifie la présentation des choses ...

Soit n un entier naturel non nul : n est dit S-atteignable si et seulement si il existe n entiers relatifs x1, x2, ...,xn vérifiant les trois conditions suivantes :

  • 1) xi=±1 pour tout i dans {1;2;...;n}
  • 2) Pour tout j dans {1;2;...;n}, x1+x2+...+j est dans [0;n], cad les sommes partielles à partir de x1 restent dans [0;n]
  • 3) x1+x2+...+xn=n

Par exemple 1 est un S-nombre (x1=1).

1) Montrer que si n≥2 est un S-nombre, alors x1=1 et x2=2.
2 et 3 sont-ils des S-nombres?

2) Montrer que 4 est un S-nombre, cela d'une seule façon (cad les xi existent et sont uniques).

3) Montrer que 5 n'est pas un S-nombre.

On peut montrer de la même façon que les nombres 6, 7, 8 ne sont pas S-atteignables ; ce résultat est admis.

4) Montrer que si n≥3 est un S-nombre, alors xn-1=-n+1, xn=n, x1+x2+...+xn-1=0.

5) Le nombre 9 est-il un S-nombre?

Pour la suite, on rappelle que, pour tout entier naturel m non nul, on a 1+2+3+...+m=m(m+1)/2.

6) Montrer que les nombres entiers qui sont des carrés d'entiers sont des S-nombres.

7)
a) Montrer que si n est un S-nombre, alors n(n-1) est divisible par 4.
En déduire une condition nécessaire sur n pour que n soit un S-nombre.

b) La réciproque de cette condition nécessaire est-elle vraie?

8) On suppose que N≥6 est un S-nombre avec x1=1, x2=2, x3=3. Montrer que N+6 est aussi un S-nombre.

9) Question non posée le jour de l'épreuve : montrer que pour tout entier naturel k≥5, les nombres 4k et 4k+1 sont des S-nombres.


Solutions

Solution exercice 1

1) L'aire cherchée est A1= (π602-π152)/2=3375π/2≈5301cm2.

2) Cette fois l'aire cherchée est A2=πR2/2+πR2/2-Ac, avec Ac=l'aire commune aux demi-cercles décrits par chaque essuie-glace.
Ac s'obtient en considérant les deux aires suivantes :

Comme l'aire de la zone délimitée par la corde [IO'] et l'arc de cercle (du demi-cercle balayé par le balai pivotant autour de O) reliant O' et I est As-At, on a Ac=(As-At)+As=(π/3-√(3)/4)R2.
Finalement A2=πR2-(π/3-√(3)/4)R2=(2π/3+√(3)/4)R2.

3a)
Soit H le projeté orthogonal de A sur [CO] : cos(30°)=CH/CA, donc CH=(√(3)/2)CA=CO/2 et H est le milieu de [CO].
Ansi, dans le triangle CAO, la hauteur issue de A est médiatrice de [CO], et donc CAO est isocèle en A.

3b)
Remarquons d'abord que

L'angle dont tourne le dispositif est angle(MOM') qui est (cf angles alternes-internes) l'angle(PMO)=angle(CAO) ; mais CAO est isocèle en A, l'angle en A étant de 30°, et donc angle(CAO)=180°-2×30°=120° : le dispositif tourne de 120° autour du point O.
Donc, bien entendu, on a aussi angle(NON')=angle(POP')=120°.
L'aire cherchée est
A3=aire du secteur angulaire de centre O et de rayon ON allant de N à N'+aire du triangle ON'M'-aire du secteur angulaire de centre O et de rayon OM allant de M à M'-aire du triangle ONM.
Comme une rotation conserve les aires, les triangles ON'M' et ONM ont la même aire et ainsi
A3=(1/2)×(2π/3)×ON2-(1/2)×(2π/3)×OM2, puisque 120°=2π/3 radians.
On a OM=OA=AC=a, et il ne reste plus qu'à préciser ON=OB.
On applique la formule d'Al-Kashi dans le triangle BCO :
OB2=BC2+CO2-2BC×CO×cos(π-π/6)=16a2+3a2-8×√(3)×a2×(-√(3)/2)=31a2.
Ainsi A3=(π/3)(31a2-a2)=10πa2.

Solution exercice 2

1) x1 devant être dans [0;n], ce ne peut être -1, donc x1=1.
x1+x2=1+x2 devant être aussi dans [0;n], x2 ne peut être -2, donc x2=2.
2 n'est pas un S-nombre, car, cf ci-dessus, nécessairement x1+x2=3, donc la condition 3, x1+x2=2, ne peut être vérifiée.
Quant à 3, si c'est un S-nombre, on doit avoir 1+2+x3=3, soit x3=0, alors que x3 doit être ±3 : 3 n'est pas un S-nombre.

2) On cherche x3=±3 et x4=±4 tels que 1+2+x3 soit dans [0;4] et 1+2+x3+x4=4.
Donc obligatoirement x3=-3 et alors 1+2-3+x4=4 est vérifiée si et seulement si x4=4 : 4 est un S-nombre, cela de façon unique : 4=1+2-3+4.

3) On cherche x3=±3, x4=±4, x5=±5 tels que 1+2+x3 soit dans [0;5], 1+2+x3+x4 soit dans [0;5] et 1+2+x3+x4+x5=5.
3+x3 dans [0;5] et x3=±3 impliquent x3=-3.
Donc 3-3+x4 doit être dans [0;5], donc x4 ne peut être -4, et ainsi nécessairement x4=4.
Il faut alors avoir 3-3+4+x5=5, soit x5=1, alors que la condition 3) impose x5=±5 : 5 n'est pas un S-nombre.

4) On doit avoir x1+...+xn-1+xn=n ; mais par ailleurs il faut x1+...+xn-1≤n, donc n-xn≤n, soit xn≥0 et donc xn=n.
Ceci implique alors x1+...+xn-1=0, donc (puisque par ailleurs n≥3), x1+...+xn-2=-xn-1, donc -xn-1≥0 (puisque x1+...+xn-2 est une somme partielle qui doit être dans [0;n]), et ainsi, obligatoirement xn-1=-(n-1).

5) Il faut trouver xi=±i tels que 1+2+x3+x4+x5+x6+x7-8+9=9, soit x3+x4+x5+x6+x7=5 et de sorte que la condition 2) soit vérifiée, cad les sommes partielles à partir de 1 doivent rester dans [0;9].
Cf le -8+9, pourquoi ne pas essayer 3-4+5-6+7 qui fait bien 5 ; on vérifie alors sans difficulté la conditions 2 :

Ainsi 9 est un S-nombre : 9=1+2+3-4+5-6+7-8+9.

6) En observant les écritures des S-nombres 4 et 9, on s'aperçoit qu'au début de leurs décompositions les xi sont de même signe (positif), mais à la fin il y a alternance de signe : on va essayer d'exploiter cette remarque.
Cf x1+...+xn-1 doit faire 0 (voir Q4), cherchons à voir si on peut annuler la somme des premiers termes (tous positifs) par une somme de -1 de la façon suivante :
1+2+...+p+(p+1)-(p+2)+(p+3)-(p+4)+...+(p+2k-1)-(p+2k)=0 ; après xp=p, il y a k différences valant -1 chacune, et donc 1+2+...+p-k=0, soit p(p+1)/2-k=0.
Mais puisque xn-1=-(n-1), c'est que p+2k=n-1, donc n=p+2k+1=p+p(p+1)+1=(p+1)2 : pour pouvoir annuler la somme des premiers termes (tous positifs) par une somme de -1 (voir ci-dessus), il est nécessaire que n soit un carré.

Maintenant, on va montrer que si n est le carré d'un entier, cad n=(p+1)2, avec p entier naturel alors n est un S-nombre.
Si p=0 c'est évidemment vrai, puisque dans ce cas n=1.

On suppose maintenant p≥1, cad n≥4.
Remarquons tout de suite que n et p+1 ont même parité, ce qui implique que n-p-1 est divisible par 2 et aussi que n-p-1=(p+1)(p+1-1)=p(p+1).
Prenons xi=i, pour i=1,2,...,p puis pour j=1,2,...,n-1-p, on prend xp+j=(-1)j-1(p+j), et bien sûr xn=n : la condition 1 est bien vérifiée, ainsi que la condition 3, puisque la somme des n-1 premiers xi est (1+2+...+p)-1×(n-1-p)/2=(p(p+1)-n+p+1)/2=0.

Mais le plus difficile est de s'assurer que toutes les sommes partielles Sj des xi, à partir de x1, sont bien dans [0;n].


Donc toutes les sommes partielles sont bien dans [0;n] : on a donc prouvé que si n est un carré, n est un S-nombre.

7 a)
Si n=1, qui est un S-nombre, n(n-1)=0 est évidemment divisible par 0.
Comme 2 et 3 ne sont pas des S-nombres, on suppose maintenant n≥4.
n étant un S-nombre, x1+...+xn-1=0 : notons S+ la somme des xi>0 et S- la somme des xi<0, cela pour les xi avec 1≤i≤n-1.
On a alors S++S-=0, soit S+=-S-.
Mais S+-S-=1+2+...+(n-1)=(n-1)n/2, d'où 2S+=(n-1)n/2, soit 4S+=(n-1)n : comme S+ est un entier, cela veut dire que (n-1)n est divisible par 4.
Reste à voir, quelle(s) condition(s) cela implique sur n.
Il est évident que si n est divisible par 4 (n=4k, avec k entier naturel) ou si n-1 est divisible par 4 (n-1=4k, donc n=4k+1), cette condition est vérifiée.
Mais si n n'est ni de la forme 4k, ni de la forme 4k+1? Il est alors de la forme 4k+2 ou 4k+3, puisque le reste de la division d'un entier par 4 est 0 ou 1 ou 2 ou 3.
Or


Donc si n est un S-nombre, nécessairement n=4k ou n=4k+1, avec k entier naturel.

b)
La réciproque du résultat ci-dessus est fausse car 5=4k+1, avec k=1, et 5 n'est pas un S-nombre.

8) On a donc N=1+2+3+...+u-(u+1)±(u+2)+...±(N-2)-(N-1)+N, xu+1=-(u+1) étant le "premier xi" à être négatif : u≥3.
On voit tout de suite que puisque la décomposition de n commence par 1+2+3, c'est qu'une somme partielle est 6, et donc pour que la condition 2) soit vérifiée, il faut que N≥6, d'où cette hypothèse de l'énoncé.
Transformons la décomposition ci-dessus de N en modifiant uniquement xu et xu+1, cad en les changeant de signe.
On obtient alors N+2=1+2+3+...+(u-1)-u+(u+1)±(u+2)+...±(N-2)-(N-1)+N, puisque -u+(u+1)=u-(u+1)+2 ; et bien entendu les ±(u+j), pour j=2,...,N-2-u restent inchangés.
Mais comme 2=1+1=-(N+1)+(N+2)-(N+3)+(N+4), on obtient
N+4=1+2+3+...+(u-1)-u+(u+1)±(u+2)+...±(N-2)-(N-1)+N-(N+1)+(N+2)-(N+3)+(N+4) : cad N+4 est une somme de N+4 entiers xi valant bien tous ±i : donc la condition 1) est vérifiée, ainsi que la condition 3), bien sûr.
Là encore, avant de conclure que N+4 est effectivement un S-nombre, il faut s'assurer que la condition 2) est vérifiée.


Doncsi N≥6 est un S-nombre commencant par 1+2+3, N+4 est aussi un S-nombre, commencant aussi par 1+2+3.

On notera que N+4 étant alors un S-nombre commencant aussi par 1+2+3, et qu'il est évidement ≥6 lui aussi, on peut lui appliquer le ésultat précédent : N+8 est un S-nombre commencant par 1+2+3, donc à nouveau, N+12 est un S-nombre commencant par 1+2+3, et ainsi de suite :
si N est un S-nombre commencant par 1+2+3, alors pour tout entier naturel k, N+4k est un S-nombre commencant par 1+2+3.

9) Cf le résultat précédent, il s'agit de montrer que 20 et 21 sont des S-nombres : par tâtonnements j'ai trouvé

20=1+2+3-4+5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16-17+18-19+20
(idée : entre 1+2+3 et -19+20 il faut une somme valant 13, d'où le +6 et 7 différences de 1)

21=1+2+3+4+5+6-7-8+9-10+11-12+13-14+15-16+17-18+19-20+21
(idée : entre 1+2+3 et -20+21 il faut une somme valant 14 obtenue via 4+5, -1=6-7, et 6 différences de 1)

Je laisse le lecteur s'assurer, en évaluant les sommes partielles successives, que la condition 2) est bien vérifiée dans chaque cas.

Donc cf la question 8), tout nombre de la forme 20+4k=4(k+5), avec k entier naturel est un S-nombre ; de même tout nombre de la forme 21+4k=4(k+5)+1 est un S-nombre ; k+5 étant un entier naturel ≥5, ceci répond à la question :
tout entier de la forme 4k ou 4k+1 avec k entier naturel ≥5 est un S-nombre.

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