Liste des liens
vers tous les exercices
de ce site
sur les olympiades

Olympiades 1ère S 2010

 

Exercice 1 (national)

La rosace
Un architecte cherche à intégrer une rosace particulière dans le bâtiment dont il étudie actuellement les plans.
Voici son idée : la rosace a été tracée à partir du motif ci-dessous construit à l'aide de deux cercles.


1) Dans le motif ci-dessus, quelle est la mesure de l'angle formé par les tangentes, issues de A, au deux cercles?

2)
a) Montrer que AB=BC
b) Comment le rayon du plus grand des deux cercles s'exprime-t-il en fonction du rayon du plus petit des deux cercles?
c) D'après ses plans, l'architecte souhaite inscrire sa rosace dans un disque de rayon 3Ö3. Comment doit-il alors choisir le rayon de chacun des cercles du motif?

3) Quelle est l'aire, en fonction du rayon du petit cercle du motif, de l'intérieur du triangle curviligne EBD, c'st-à-dire l'aire de la région délimitée par le segment [ED], le petit arc de cercle du petit cercle allant de E à B et le petit arc de cercle du grand cercle allant de B à D?

Exercice 2 (national)

A la recherche du chaînonze.

On rappelle le critère de divisibilité par 11 d’un nombre inférieur à 999 :
Un nombre inférieur à 999 est divisible par 11 si et seulement si la somme du chiffre des centaines et du chiffre des unités diminuée du chiffre des dizaines vaut 0 ou 11.
Ainsi 759 et 99 sont divisibles par 11 car 7 + 9 – 5 = 11 et 0 + 9 – 9 = 0.
Une autre façon d'énoncer le critère ci-dessus est la suvante : un nombre inférieur à 999 s'écrivant cdu (c chiffre des centaines, d chiffre des dizaines, u chiffre des unités ; c, d, u pouvant être nuls), il sera divisible par 11 si et seulement si c-d+u est divisible par 11, car -9£c-d+u£18, et les seuls entiers divisibles par 11 compris entre -9 et 18 sont 0 et 11.
C'est en fait ce critère qui se généralise : par exemple 91927 est divisible par 11 car 9-1+9-2+7=22 est divisible par 11 (91927=11×8357).

On appelle chaînonze une chaîne de chiffres telle que tout nombre formé de trois termes consécutifs de la chaîne est divisible par onze.
Par exemple "7 5 9 4" est un chaînonze car 759 et 594 sont divisibles par 11.

1) Quel chiffre peut-on ajouter à droite de la chaîne "7 5 9 4" pour la prolonger en un chaînonze ?

2). Prolonger par la droite le chaînonze "7 5 9 4" en un chaînonze de 12 chiffres. Peut-on le prolonger ainsi indéfiniment ? Quel serait alors le 2010 ième chiffre ?

On envisage de partir d’une chaîne de deux chiffres et de la prolonger par la droite en un chaînonze le plus long possible.

3) Prolonger par la droite les chaînes "0 9" et "9 1". Que constatez-vous?

On appelle chaînonze fini un chaînonze qui au bout d’un nombre fini d’opérations ne peut plus se prolonger.
On appelle chaînonze n-périodique un chaînonze infini constitué d’une séquence de n chiffres se répétant indéfiniment.

4) On considère la chaîne "a b" où a et b sont deux chiffres.
On veut savoir si cette chaîne est prolongeable par la droite en un chaînonze de trois chiffres et, auquel cas, si un tel prolongement est unique.
a) Etudier le cas particulier "a a".
b) Etudier le cas b = a - 1.
c) Etudier les autres cas.

5) Montrer qu’en prolongeant par la droite la chaîne "a b" autant que faire se peut, le chaînonze obtenu est soit fini, soit 6-périodique.


Solutions

Solution exercice 1

1) La rosace contenant 6 motifs, l'angle demandé est 2p/6=p/3

2)
a) L'angle(DAC) est évidemment (p/3)/2=p/6, et comme ADC est rectangle en D, angle(BCD)=p/2-p/6=p/3.
Donc (trigonométrie dans le triangle rectangle) cos(p/3)=DC/AC, soit 1/2=DC/AC et AC=2DC.
Mais CB=CD, donc AC=2BC et ainsi B est le milieu de [AC], soit AB=BC.
b) En considérant cette fois le triangle rectangle AEO, et en remarquant que les droites (DC) et (EO) sont paralléles, on a angle(AOE)=p/3, et donc cos(p/3)=r/AO, avec r rayon du petit cercle, donc AO=2r, puis AB=AO+OB=3r ; comme AB=BC=R (rayon du grand cercle), on a R=3r.
c) On veut AD=3Ö3 ; comme AC2=AD2+DC2, la condition à vérifier est (6r)2=27+9r2, soit r2=1, donc r=1 (puisque r>0), et R=3.

3) On va procéder par différence.
En notant

alors, l'aire cherchée est a1-a2-a3-a4. a1=(1/2)×CA×CD×sin(p/3)=9Ö3r2/2
a2=(1/2)×OA×OE×sin(p/3)=Ö3r2/2
Rappelons que l'aire d'un secteur circulaire d'angle a d'un cercle de rayon r est ar2/2, d'où
a3=(p/3)R2/2=3pr2/2
a4=(2p/3)r2/2=pr2/3.
L'aire cherchée est donc (4Ö3-11p/6)r2@1,1686r2.

Solution exercice 2

1) Pour prolonger par la droite le chaînonze "7594" il faut trouver le chiffre u tel que 94u soit divisible par 11, c'est-à-dire u élément de {0;1;2;...;9} tel que 9-4+u=5+u soit divisible par 11, d'où la seule possibilité est u=6 : on obtient alors le chaînonze "75946".

2) En utilisant le même procédé que ci-dessus, le chaînonze "7594" se prolonge en le chaînonze "759462759462".
Vu qu'on retrouve la séquence 759462, on peut le prolonger indéfiniment pour obtenir un chaînonze de période 759462 (longueur de 6 chiffres) ; puisque 2010 est un multiple de 6 (2010=335×6), le 2010 ième chiffre de ce chaînonze est 2.

3) "09" se prolonge en un chaînonze périodique "099022099022..." de période 099022 (longueur 6).
"91" se prolonge en le chaînonze "9132", mais on ne peut aller plus loin, car il n'existe pas de chiffre u tel que 32u soit divisible par u. En effet 3-2+u=u+1, qui ne peut être divisible par 11, puisque u est un élément de {0;1;...;9}.

4)
a) "aau" sera un chaînonze si et seulement si a-a+u=u est divisible par 11, donc la seule possibilité est u=0 : le seul chaînonze (de trois chiffres) prolongeant "aa", par la droite, est "aa0".

b) b étant égal à a-1, "abu" sera un chaînonze si et seulement si a-(a-1)+u=1+u est divisible par 11, ce qui est impossible puisque 1+u est élément de {1;2;...;10} : on ne peut prolonger, par la droite, "ab", avec b=a-1, en un chaînonze.

c) b étant distinct de a et a-1, "abu" sera un chaînonze si et seulement si a-b+u est divisble par 11, c'est-à-dire (voir préambule de l'énoncé) si a-b+u=0 ou 11, soit u=b-a ou u=11+b-a.


donc, b étant distinct de a et a-1, "abu" se prolonge toujours, par la droite, par le seul chaînonze "abu", avec u=b-a si b-a >0, u=b-a+11 si b-a<0.

Je laisse le lecteur vérifier que ces trois résultats peuvent se résumer ainsi :

Par exemple si a=7, b=5, alors b-a=-2 et donc "75" se prolonge par le chaînonze "75u" avec u=11+b-a=9, soit le chaînonze"759", par contre "59" va se prolonger par le chaînonze "59u" avec u=b-a=4, soit "594" ; puis "94" se prolonge par "94u" avec u=11+4-9=6, soit "946", d'où le chaînonze "75946" : voir Q1 et Q2.

5) Remarquons tout de suite que l'énoncé de cette question est faux, puisque "ab" avec b-a=-1 ne peut se prolonger par la droite par aucun chaînonze!!
On s'intéresse donc en fait qu'au cas où b-a¹-1.

En utilisant la conclusion de la question précédente, et en envisageant toujours que des prolongements par la droite, on obtient les résultats suivants ( pour éviter des confusions, un chiffre s'exprimant à l'aide de a et b sera mis entre deux / : par exemple /11-a/) :

Finalement,