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Olympiades 1ère S 2009

 

Exercice 1 (national)

Les triangles magiques.
Partie A
Questions préliminaires
On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.
1) Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme?
2) Quelle est la plus grande valeur possible pour leur somme?

Partie B
On place tous les entiers de 1 à 9 dans neuf cases situées sur le pourtour d'un triangle (un et un seul de ces entiers dans chaque case) : il y a une case sur chaque sommet et deux cases à l'intérieur de chaque côté.
Donc sur chaque côté il y a quatre cases (à vrai dire je n'ai fait figurer que les entiers ni situés dans ces cases) :


Si la somme des quatres nombres situés sur chacun des trois côtés du triangle ont la même valeur S, on dit que le triangle est S-magique (c'est-à-dire si n1+n2+n3+n4=n4+n5+n6+n7=n7+n8+n9+n1=S).
On se propose de déterminer toutes les valeurs possibles de S.

1) Les cases situées sur les sommets d'un triangle contenant les nombres 2, 5 , 8, compléter les cases situées à l'intérieur des côtés, de sorte que ce triangle soit 20-magique, c'est-à-dire S-magique de somme S=20.

2) On considère un triangle S-magique et on appelle T la somme des nombres placés sur les trois sommets.
a) Prouver que 45+T=3S
b) En déduire que 17£S£23.
c) Donner la liste des couples (S,T) ainsi envisageables.

3) Proposer un triangle 17-magique.

4) Prouver qu'il n'existe pas de triangle 18-magique.

5)
a) Montrer que dans un triangle 19-magique, 7 est nécessairement situé sur un sommet du triangle.
b) Proposer un triangle 19-magique.

6) Prouver que, s'il existe un triangle S-magique, alors il existe aussi un triangle (40-S) magique.

7) Pour quelles valeurs de S existe-t-il au moins un triangle S-magique?

Exercice 2 (national)

Les diagonales
On plie une feuille de papier rectangulaire le long d'une de ses diagonales ; on coupe les parties qui ne se recouvrent pas puis on déplie la feuille.

On admet qu'ainsi on obtient toujours un losange (cette propriété sera démontrée dans la dernière partie de l'exercice). L'unité de longueur choisie est le centimètre.

1) Construire le losange obtenu à partir d'une feuille rectangulaire de longueur L=16 et de largeur l=8.

On pourra noter c la longueur du côté du losange.

Les questions suivantes sont indépendantes.

2) Dans cette question, la feuille rectangulaire de départ a pour longueur 16 et pour largeur 8. Calculer la longueur du côté du losange.

3) On veut maintenant obtenir un losange de côté 7,5 à partir d'une feuille dont les dimensions (longueur L et largeur l) sont des nombres entiers.
Quelles sont les dimensions possibles pour la feuille de départ?

4) A partir d'une feuille de longueur L, on a obtenu un losange dont l'aire est égale à 75% de celle de la feuille de départ. Exprimer, en fonction de L, la largeur l de la feuille de départ.

5) Démontrer le résultat admis initialement, à savoir que la manipulation décrite en début d'énoncé conduit toujours à un losange.


Solutions

Solution exercice 1

A 1) 1+2+3=6

A 2) 7+8+9=24

B 1) Il faut trouver n2, n3, n5, n6, n8, n9 tels que
n2+n3=13 et n5+n6=7 et n8+n9=10, les ni étant deux à deux distincts et bien sûr distincts de 2, 5, 8.
En "bricolant", on trouve assez vite que, par exemple, n2=6, n3=7, n5=3, n6=4, n8=1, n9=9.

B 2 a) T=n1+n4+n7 et T+n2+n3+ n5+n6+n8+n9=1+2+...+9=9×10/2=45
Le triangle étant S-magique, en ajoutant les entiers situés sur chacun des trois côtés, on obtient 3S=2n1+2n4+2n7+n2+n3+ n5+n6+n8+n9, soit 3S=2T+45-T, et donc 3S=T+45.

B 2 b) Cf la partie A, 6£T£24, donc 51£3S£69 et 17£S£23.

B 2 c) Puisque T=3S-45, il n'y a que sept couples (S,T) possibles :

3) Si un triangle est 17-magique, alors nécessairement T=6, donc les entiers placés sur les sommets sont 1,2,3 et par une petite recherche comme à B1, on trouve qu'en mettant, entre 1 et 2 les entiers 6 et 8, entre 2 et 3 les entiers 5 et 7, et entre 3 et 1 les entiers 4 et 9, on obtient effectivement un triangle 17-magique.

4) Si un triangle est 18-magique alors nécessairement T=9 ; mais cette fois cela donne plusieurs possibilités (en dehors de l'ordre, bien sûr) pour les entiers placés sur les sommets :

Pour chacun de ces trois cas, examinons s'il est possible d'avoir effectivement un triangle 18-magique. Donc il n'y a pas de triangle 18-magique.

5 a) Si un triangle est 19-magique alors T=12, ce qui fait, à priori, sept possibilités (c'est beaucoup) pour les sommets :
1, 2, 9 ou 1, 3, 8 ou 1, 4, 7 ou 1, 5, 6 ou 2, 3, 7 ou 2, 4, 6 ou 3, 4, 5.

Donc si un triangle est 19-magique, nécessairement il y a 7 sur un sommet.

5 b) En prenant comme sommets 1, 4, 7, par une petite recherche comme en B1, on trouve qu'en mettant entre 1 et 4 les entiers 5 et 9, entre 4 et 7 les entiers 2 et 6, et entre 7 et 1 les entiers 3 et 8, on obtient effectivement un triangle 19-magique

6) Soient n1, n2,,..., n9 les neuf entiers situés sur les côtés d'un triangle S-magique : si on remplace chacun de ces entiers ni par 10-ni, on obtient encore les neuf entiers 1, 2, ..., 9 et la somme des entiers situés sur chaque côté est alors 4×10-S=40-S, et donc on obtient un triangle (40-S)-magique.

7) On a vu à Q2c, que si un triangle est S-magique alors S est nécessairement 17 ou 18 ou 19 ou 20 ou 21 ou 22 ou 23 :

Finalement, les seules valeurs de S pour lesquelles il existe au moins un triangle S-magique sont 17, 19, 20, 21, 23.

Solution exercice 2

1) Je note ABCD le rectangle correspondant à la forme de la feuille de papier.
Lorsqu'on le plie selon la diagonale [DB], A arrive en A', symétrique de A par rapport à la droite (DB). Le segment [A'B] coupe alors [DC] en I, et les parties qui ne se recouvrent pas sont les deux régions colorées en violet ; ces deux parties étant coupées, lorsqu'on déplie la feuille le point I arrive en I' symétrique de I par rapport à la droite (DB), et on obtient le quadrilatère I'BID coloré en jaune, et qui ressemble fortement ... à un losange!

2) c étant la longueur du côté du losange, en appliquant Pythagore dans le triangle rectangle ICB, on obtient c2=82+(16-c)2, soit 32c=320 et c=10

3) Cette fois on a 7,52=l2+(L-7,5)2 et aussi L³7,5 (puisque L=DC³DI=7,5)

Il suffit alors de voir parmi les valeurs possibles de l, lesquelles donnent un carré pour 225-4l2.
Seul le cas l=6 convient : 225-4×62=812.
Donc 2L-15=9 ou 2L-15=-9, soit L=12 ou L=3 : seul 12 est ³7,5, donc l=6, L=12.

Remarque : la condition 7,52=l2+(L-7,5)2 s'écrit aussi L2-15L+l2=0 : elle peut être vue comme une équation du second degré d'inconnnue L, et son discriminant est alors 225-4l2.

4) L'aire du losange, qui est un trapèze, est égale à la moyenne des bases fois la hauteur=((c+c)/2)×l=cl ; on peut aussi dire que c'est l'aire du rectangle ABCD (I' est sur [AB] car (I'B) et (DI) sont paralléles, les côtés opposés d'un losange l'étant) moins l'aire des triangles DAI' et ICB, soit lL-2×l(L-c)/2=cl.
On doit donc avoir cl=0,75lL, soit c=3L/4.
Mais, toujours Pythagore dans ICB, c2=l2+(L-c)2 , donc c=(l2+L2)/(2L), ce qui donne 3L/4=(l2+L2)/(2L), soit l2=L2/2 et l=L/Ö2.

5) Notons s(DB) la symétrie orthogonale par rapport à la droite (DB).

Il ne reste plus qu'à montrer que DI=BI, et I'BID aura ses quatre côtés égaux.
Les droites (AB) et (A'B)=(IB) étant symétriques par rapport à (DB), angle(ABD)=angle(DBI), où angle(UVW) désigne l'angle de sommet U et de côtés [VU) et [VW).
Les droites (AB) et (DI) étant paralléles, angle(ABD)=angle(BDI) (angles alterne-interne).
Finalement angle(DBI)=angle(BDI), donc le triangle DIB est isocèle en I et on a bien IB=ID : le quadrilatère I'BID est bien un losange, puisque ses quatre côtés sont égaux.

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