Liste des liens
vers tous les exercices
de ce site
sur les olympiades

Olympiades 1ère S 2008

 

Exercice 1 (national)

On dit qu'un entier supérieur ou égal à 2 est bon s'il peut s'écrire comme somme de nombres entiers naturels non nuls dont la somme des inverses est 1.
On dit qu'il est mauvais s'il n'est pas bon ; on appelera décomposition d'un entier toute façon d'écrire cet entier sous forme d'une somme d'entiers non nuls (l'ordre de cette somme n'important pas).

    Ainsi par exemple,
  • 2 a une seule décomposition : 2=1+1 et 1/1+1/11, donc 2 est mauvais.
  • 3 n'a que deux décompostions : 1+2 et 1+1+1 ; comme 1/1+1/21 et 1/1+1/1+1/11, 3 est mauvais.

1) Déterminer pour chacun des entiers de 4 à 11 s'il est bon ou mauvais.

2) Montrer que le carré de tout nombre entier2 est bon.

3) Montrer que si n est bon, alors 2n+2 et 2n+9 sont bons.

4) On admet que tous les nombres entiers de 24 à 55 sont bons. Qu'en est-il de tout nombre entier 56?

Exercice 2 (national)

1) Alain est géomètre. Il veut partager un carré de côté 1 en trois parties de même aire selon le schéma ci-dessous (AH=CI=x) :

Quelle valeur doit-il donner à x?

2) Mais Alain est esthète! Ne trouvant pas la construction précédente élégante, il décide de supprimer la zone triangulaire grisée et ainsi les trois parties restantes sont triangulaires :

Est-il possible de trouver x pour que ces trois parties restantes aient effectivement la même aire?

3) Par hasard, Alain compléte la figure précédente par le segment [HJ] orthogonal à [DC] : il lui semble alors que les droites (HJ), (DI), (AC) sont concourantes?

Il se pose alors la question (comme le ferait tout mathématicien) de savoir si ces trois droites sont effectivement concourantes.
Qu'en est-il?


Solutions

Solution exercice 1

1) 4=2+2 et 1/2+1/2=1 donc 4 est bon

Pour la suite on remarquera que pour n5

la seule décomposition pouvant convenir pour 5 est 5=2+3, mais 1/2+1/31, donc 5 est mauvais
il y a deux décompositions pouvant convenir pour 6 : 6=2+4=3+3 ; mais 1/2+1/4 et 1/3+1/3 sont 1, donc 6 est mauvais
il y a deux décompositions pouvant convenir pour 7 : 7=2+5=3+4 ; mais 1/2+1/5 et 1/3+1/4 sont 1, donc 7 est mauvais
il y a quatre décompositions pouvant convenir pour 8 : 8=2+6=3+5=4+4=2+3+3 ; mais 1/2+1/6, 1/3+1/5, 1/4+1/4, 1/2+1/3+1/3 sont 1, donc 8 est mauvais
9=3+3+3 et 1/3+1/3+1/3=1, donc 9 est bon
10=2+4+4 et 1/2+1/4+1/4=1, donc 10 est bon
11=2+3+6 et 1/2+1/3+1/6=1, donc 11 est bon

2) n2=n+n+...+n+n (somme de n fois n) et 1/n+1/n+...+1/n+1/n (somme de n fois 1/n)=1, donc n2 est bon

3) n étant bon, c'est que n=e1+...+ek avec 1/e1+...+1/ek=1.

On a alors
2n+2=(2e1)+...+(2ek)+2 et
1/(2e1)+...+1/(2ek)+1/2= (1/2)(1/e1+...+1/ek)+1/2=1/2+1/2=1 : 2n+2 est bon

2n+9=(2e1)+...+(2ek)+3+6 et
1/(2e1)+...+1/(2ek)+1/3+1/6= (1/2)(1/e1+...+1/ek)+1/3+1/6=1/2+1/3+1/6=1 : 2n+9 est bon (note : voir le cas de 11 ci-dessus).

4) On constate tout de suite, en utilisant le résultat de la question 3), que :

Donc puisque tout entier de 24 à 55 est bon, alors tout entier de 56 à 119 est bon.

Mais on ne va pas s'amuser à continuer ainsi éternellement : je ne vois comment on peut conclure rigoureusement, sans récurrence, notion qui n'est pas (une fois de plus : voir en bas de l'encadré sur le classement thématique de la Liste des liens vers tous les exercices) au programme de 1ière S!

Voici une preuve rigoureuse qui me semble dépasser le niveau 1ière S.
Pour tout entier naturel p2, on pose Ep={p; p+1; ... ; 2p+7}, cad l'ensemble des entiers naturels de p à 2p+7, et on dira que Ep est bon si tous les entiers qu'il contient sont bons.
L'énoncé nous dit que E24 est bon, et on vient d'en déduire que E56 est bon.
En fait si Ep est bon, obligatoirement E2p+8={2p+8; ... ; 4p+23} est bon (on remarque que E2p+8 "commence" à 2p+8 alors que Ep "termine" à 2p+7).
Pour le prouver, on raisonne comme dans le cas p=24 :

Donc si Ep est bon, tous les entiers de 2p+8 à 4p+23 sont bons, cad E2p+8 est bon.
On en déduit alors Finalement, tous les entiers naturels 24 sont bons.

Et, compte-tenu de la question 1) et du complément 1 ci-après,
parmi les entiers naturels de 2 à 23, seuls sont bons 4, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 22...euh, en toute honnêté j'ai uniquement la preuve que ceux que je viens de citer sont effectivement bons, et que 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12 sont mauvais ; par contre pour 13, 14, 15, 19, 21, 23 je n'en ai qu'une "preuve informatique"!

Quelques compléments sur l'exercice.

C1) L'énoncé ne se prononce pas sur les entiers de 12 à 23. Qu'en est-il?

16 est bon (c'est un carré)
17=2×4+9 est bon (17=3+4+4+6 et 1/3+1/4+1/4+1/6=1)
18 est bon (18=3+3+6+6 et 1/3+1/3+1/6+1/6=1)
20=2×10+2 est bon (20=2+6+6+6 et 1/2+1/6+1/6+1/6=1)
22=2×11+2 est bon (22=2+4+8+8 et 1/2+1/4+1/8+1/8=1)
12 n'est pas bon : en notant M la valeur maximum des entiers constituant une décomposition de 12 (et en rappelant, cf question 1), qu'une décomposition contenant 1 ou deux 2, ne peut convenir, et donc je ne citerai pas ces décompositions ; il en est évidemment de même pour les décomposition contenant trois 3)
M=12 est impossible, car 1/121
M=11 est impossible car il conduit à 1 dans la décomposition
M=10 est impossible car 1/10+1/21
M=9 est impossible car 1/9+1/31
M=8 est impossible car 1/8+1/41
M=7 est impossible car 1/7+1/5, 1/7+1/3+1/2 sont 1
M=6 est impossible car 1/6+1/6, 1/6+1/4+1/2, 1/6+1/3+1/3 sont 1
M=5 est impossible car 1/5+1/5+1/2, 1/5+1/4+1/3 sont 1
M=4 est impossible car 1/4+1/4+1/4, 1/4+1/3+1/3+1/2 sont 1
M=3 est impossible
M=2 est impossible

Pour 13, 14, 15, 19, 21, 23 je me suis contenté de faire tourner un programme informatique qui, pour chacun de ces nombres, ne sort aucune décompostion gagnante ; en effet je n'ai pas eu le courage de faire pour chacun d'entre eux un raisonnement similaire à celui fait pour 12!

C2) Outre les formules données à la question 3), il y a d'autres formules :
si n est bon, 3n+6 est bon (on retrouve 18=3×4+6 est bon)

En effet, n=e1+...+ek avec 1/e1+...+1/ek=1, donc 3n+6=(3e1)+...+(3ek)+3+3 et
1/(3e1)+...+1/(3ek)+1/3+1/3=1.
si n et m sont bons, 2n+2m sont bons, donc 2n+8 est bon (m=4) et 4n est bon (n=m) En effet n=e1+...+ek avec 1/e1+...+1/ek=1 et m=f1+...+fk' avec 1/f1+...+1/fk'=1, donc 2m+2n=(2e1)+...+(2ek)+(2f1)+...+(2fk') et 1/(2e1)+...+1/(2ek)+1/(2f1)+...+1/(2fk')=1/2+1/2=1 Ces résultats me serviront pour le complément ci-après.

C3) Justifions qu'effectivement tous les entiers de 24 à 55 sont bons (il était demandé, à la question 4), d'admettre ce résultat).

entierexplicationentierexplication
242×11+2 25carré
262×9+8 272×9+9
282×10+8 292×10+9
302×11+8 312×11+9
3232=2+3+9+18
1/2+1/3+1/9+1/18=1
333×9+6
342×16+2 3535=2+6+9+9+9
1/2+1/6+1/9+1/9+1/9=1
36carré 3737=2+3+8+24
1/2+1/3+1/8+1/24=1
382×18+2
2×9+2×10
393×11+6
404×10
2×16+8
2×9+2×11
412×16+9
422×10+2×11 432×17+9
444×11 452×18+9
462×22+2 4747=4+4+6+6+9+18
1/4+1/4+1/6+1/6+1/9+1/18=1
482×20+8 49carré
502×24+2 5151=3+3+5+10+30
1/3+1/3+1/5+1/10+1/30=1
522×25+2 532×22+9
542×26+2 5555=2+4+7+14+28
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1

Remarque 1 : les décompositions "gagnantes" non indiquées dans ce tableau, s'obtiennent sans difficulté à partir des formules ayant permis de conclure (cf la preuve de ces formules).
Par exemple, pour 40:

40=2×9+2×11=2×(3+3+3)+2×(2+3+6), et donc une décomposition gagnante pour 40 est 4+6+6+6+6+12 ; on vérifie que 1/4+1/6+1/6+1/6+1/6+1/12=1.
Mais on a aussi 40=2×16+8=×(4+4+4+4)+2×(2+2), et une autre décomposition gagnante pour 40 est 40=4+4+8+8+8+8 ; on vérifie que 1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8=1
On vient donc de montrer qu'un entier qui est bon peut avoir plusieurs décompositions gagnantes.

Remarque 2 : pour trouver les décompositions gagnantes ci-dessus (je n'avais pas encore fait le programme informatique évoqué à C1), j'ai procédé ainsi :
1/p+1/(2p)=3/(2p) sera entier ssi 3 divise p

p=3 donne 1/2+1/6=1/2, bien connu, p=6 donne 1/6+1/12=1/4, p=9 donne 1/9+1/18=1/6 et là 9+18+3+2=32, ce qui donne 32 bon 1/p+1/(3p)=4/(3p) sera entier ssi 4 divise p p=4 donne 1/4+1/12=1/3, p=8 donne 1/8+1/24=1/6 et là 8+24+3+2=37, ce qui donne 37 bon 1/p+1/(2p)+1/(3p)=11/(6p) sera entier ssi 11 divise p, ce qui donne p+2p+3p "trop" grand

1/p+1/(2p)+1/(4p)=7/(4p) sera entier ssi 7 divise p

p=7 donne 1/7+1/14+1/28=1/4 et là 7+14+28+4+2=55, ce qui donne 55 bon 1/p+1/(2p)+1/(6p)=5/(3p) sera entier ssi 5 divise p p=5 donne 1/5+1/10+1/30=1/3 et là 5+10+30+3+3=51, ce qui donne 51 bon Ensuite partant de 1/2+1/3+1/6, j'en déduis 1/4+1/6+1/12=1/2, puis 1/6+1/9+1/18=1/3 et là 6+9+18+6+4+4=47, ce qui donne 47 bon.

35 a été obtenu par "chance" en pensant à 8+3×9=2+6+9+9+9+9=35 et 1/2+1/6+1/3=1 donne 35 bon.

En fait l'égalité 1/2+1/3+1/6=1 est la clé de beaucoup de choses pour cet exercice.

Solution exercice 2

1) L'aire de chaque triangle de côtés 1 et x est 1×x/2=x/2, et l'aire de la zone entre ces deux triangles est 1×1-2(x/2)=1-x.
Il faut donc que 1-x=x/2, soit x=2/3@0,666.

2) L'aire du triangle grisé est (1-x)(1-x)/2 et donc l'aire de la zone restante entre les deux triangles de côtés 1 et x est 1-2(x/2)-(1-x)2/2.
Il faut donc que 1-x-(1-2x+x2)/2=x/2, soit x2+x-1=0. Le discriminant de cette équation du second degré est 5, donc il y a deux solutions : (-1+5)/2>0 et (-1-5)/2<0.
Comme x est une longueur, il y a une et une seule possibilité pour x : c'est x=(5-1)/2@0,618 (il s'agit de l'inverse du nombre d'or (1+5)/2).

3) Là c'est un peu moins immédiat.
Notons K=(AC)(DI) et L=(HJ)(DI) : on va montrer que K=L, ce qui prouvera que les trois droites sont effectivement concourantes.

Donc KK'=JL ; si K et L étaient distincts alors, puisque (JL) et (K'K) sont orthogonales à (DC), la droite (LK)=(DI) serait paralléle à (DC) ce qui est faux, et donc K=L, c'est-à-dire les droites (HJ), (DI), (DC) sont effectivement concourantes.

présentation olympiades