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Olympiades 1ère S 2007

 

Exercice 1 (national)

On dispose de 7 objets que l'on répartit en autant de tas que l'on veut, chaque tas contenant autant d'objets que l'on veut.
Une manipulation consiste à enlever un objet de chaque tas et à faire un nouveau tas des objets ainsi récupérés.

Exemple : une répartition possible au départ sera notée (4)(3) : elle signifie qu'on a deux tas, l'un de quatre objets, l'autre de 3 objets et après une manipulation on obtiendra la répartition (3)(2)(2).

Avertissement : bien entendu,ce qui importe dans une répartition, c'est son nombre de tas et le nombre d'objets par tas : donc on considère que les répartitions (4)(3) et (3)(4) sont identiques. De même les répartitions (3)(2)(2), (2)(3)(2) et (2)(2)(3) sont identiques.
D'ailleurs une façon unique de noter une répartition est d'indiquer ses tas par valeurs décroissantes de leurs nombres d'objets : (3)(2)(2).

1) On place les 7 objets en un seul tas : la répartition est donc (7).
Quelle répartition obtiendra-t-on après 3 manipulations? Après 7 manipulations? Après 2007 manipulations?

2) Ici, on ne connaît pas la répartition initiale, mais après 2007 répartitions, on obtient la répartition (4)(2)(1). Indiquer toutes les répartitions initiales possibles.

3) Paul et Virginie jouent ensemble. Au départ, Paul dispose les objets sans montrer la répartition à Virginie. Puis il simule sur son ordinateur 2007 manipulations et ne montre à Virginie que la répartition finale.
Il demande alors à Virginie de deviner la répartition initiale.
Virginie réfléchit et avoue ne pas savoir répondre car elle hésite entre trois répartitions.
Sachant que Virginie a raisonné correctement, quelle répartition finale a-t-elle vue?

Exercice 2 (national)

Le but de cet exercice est de déterminer les trapèzes rectangles qui sous certaines conditions de distances et d'angles, sont partagés en deux trapèzes de même aire par une parallèle donnée à leurs bases.

1) Question préliminaire
Existe-t-il un couple d'entiers naturels (m,p) tel que m2-p2=8?
En existe-t-il plusieurs?
Le résulat de cette question peut être exploité dans la suite de l'exercice.

2) On considère le trapèze rectangle ABCD de base [AB] et [CD] avec :

angle(ABC)=45░
les distances AB, DC sont des nombres entiers, et AD>2.
Soit M le point du segment [AD] tel que AM=2 et N sur [BC] tel que (MN)//(AB).

Déterminer les distances AB,AD et CD de sorte que les aires de trapèzes MNBA et MNCD soient égales.
Indication : on pourra faire apparaître sur la figure des triangles isocèles.


Solutions

Solution exercice 1

1)Une flèche entre deux répartitions indiquant que l'on passe de l'une à l'autre par une manipulation :
(7)->(6)(1)->(5)(2)->(4)(2)(1) : après 3 manipulations, (7) donne (4)(2)(1)
(4)(2)(1)->(3)(3)(1)->(3)(2)(2)->(3)(2)(1)(1)->(4)(2)(1)

Donc après 4 manipulations, (4)(2)(1) redonne (4)(2)(1)

et donc après 7 manipulations, (7) donne (4)(2)(1)
En fait k étant un entier naturel, après 3+k×4 manipulations, (7) donne (4)(2)(1)
En particulier pour k=501, on obtient : après 2007 manipulations, (7) donne (4)(2)(1)

2) Au cours de la question précédente on a "rencontré" 7 répartitions. Vu qu'il n'y a que 7 objets à répartir, il ne peut y avoir un "tas" de répartitions : en fait il est presque immédiat (sans chercher à utiliser des formules combinatoires, qui à vrai dire ne sont pas du programme de 1S) de voir qu'il y a en tout 15 répartitions possibles, et en 5 minutes on peut remplir le tableau ci-dessous qui va donner les réponses aux questions 2) et 3) :

rÚpartition
initiale
à l'issue
de la 1ère
manipulation
on obtient
à l'issue
de la 2ère
manipulation
on obtient
à l'issue
de la 3ère
manipulation
on obtient
à l'issue
de la 4ère
manipulation
on obtient
à l'issue
de la 5ère
manipulation
on obtient
nombre
minimum de
manipulations
pour arriver
à (4)(2)(1)
(7)(6)(1)(5)(2)(4)(2)(1) --3
(6)(1)(5)(2)(4)(2)(1)- --2
(5)(2)(4)(2)(1)-- --1
(5)(1)(1)(4)(3)(3)(2)(2)(3)(2)(1)(1) (4)(2)(1)-4
(4)(3)(3)(2)(2)(3)(2)(1)(1)(4)(2)(1) --3
(4)(2)(1)(3)(3)(1)(3)(2)(2)(3)(2)(1)(1) (4)(2)(1)-4
(4)(1)(1)(1)(4)(3)(3)(2)(2)(3)(2)(1)(1) (4)(2)(1)-4
(3)(3)(1)(3)(2)(2)(3)(2)(1)(1)(4)(2)(1) --3
(3)(2)(2)(3)(2)(1)(1)(4)(2)(1)- --2
(3)(2)(1)(1)(4)(2)(1)-- --1
(3)(1)(1)(1)(1)(5)(2)(4)(2)(1)- --2
(2)(2)(2)(1)(4)(1)(1)(1)(4)(3)(3)(2)(2) (3)(2)(1)(1)(4)(2)(1)5
(2)(2)(1)(1)(1)(5)(1)(1)(4)(3)(3)(2)(2) (3)(2)(1)(1)(4)(2)(1)5
(2)(1)(1)(1)(1)(1)(6)(1)(5)(2)(4)(2)(1) --3
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(7)(6)(1)(5)(2) (4)(2)(1)-4

Remarque : ce tableau pourrait être remplacé par un graphe.

Donc, après au plus 5 manipulations, toutes les répartitions arrivent à (4)(2)(1).

Répartissons ces 15 répartitions selon la valeur du nombre minimum (1) de manipulations pour atteindre (4)(2)(1) :

les 2 répartitions qui après 1 manipulation arrivent à (4)(2)(1) :
elles vont arriver au bout de 2007 coups à (3)(2)(2)

car au bout de 1+2000 manipulations on arrive à (4)(2)(1) et il reste 2 manipulations à faire les 3 répartitions qui après 2 manipulation arrivent à (4)(2)(1) :
elles vont arriver au bout de 2007 coups à (3)(3)(1)
car au bout de 2+2004 manipulations on arrive à (4)(2)(1) et il reste 1 manipulations à faire les 4 répartitions qui après 3 manipulation arrivent à (4)(2)(1) :
elles vont arriver au bout de 2007 coups à (4)(2)(1)
car au bout de 3+2004 manipulations on arrive à (4)(2)(1) et il reste 0 manipulation à faire les 4 répartitions qui après 4 manipulation arrivent à (4)(2)(1) :
elles vont arriver au bout de 2007 coups à (3)(2)(1)(1)
car au bout de 4+2000 manipulations on arrive à (4)(2)(1) et il reste 3 manipulations à faire les 2 répartitions qui après 5 manipulation arrivent à (4)(2)(1) :
elles vont arriver au bout de 2007 coups à (3)(2)(2)
car au bout de 5+2000 manipulations on arrive à (4)(2)(1) et il reste 2 manipulations à faire Donc les seules répartitions qui donnent (4)(2)(1) au bout de 2007 manipulations, sont les 4 qui arrivent à (4)(2)(1) en 3 manipulations, soient :
(7) ; (4)(3) ; (3)(3)(1) ; (2)(1)(1)(1)(1)(1)

3) De la répartition ci-dessus, on déduit toute de suite, que la seule répartition finale (cad au bout de 2007 manipulations) qui soit obtenue pour exactement trois répartitions initiales est (3)(3)(1) : c'est celle vue par Virginie.

Solution exercice 2

1) Evidemment (3,1) est un couple solution.
Cherchons les tous : la condition équivaut à (m-p)(m+p)=23 ; comme m et p sont des entiers naturels, m+p>0 et donc on a aussi m-p>0, et, compte-tenu de la décomposition en nombres premiers, la relation équivaut à m-p=2k et m+p=23-k avec k=0 ou 1 ou 2 ou 3.

si k=0 : m-p=1 et m+p=8 donc 2m=9, impossible car m doit être entier
si k=1 : m-p=2 et m+p=4 donc 2m=6 et m=3, p=1
si k=2 : m-p=4 et m+p=2 cas impossible car m+p doit être supérieur à m-p
si k=3 : m-p=8 et m+p=1 cas impossible car m+p doit être supérieur à m-p
Le seul couple solution est (m,n)=(3,1)

2) Les triangles CHB et CH'N sont isocèles respectivement en H et H' (deux angles égaux à 45░).
Donc AB=AH+HB=DC+HC=DC+AD et MN=MH'+H'N=DC+H'C=DC+AD-2=AB-2.
En utilisant la formule hauteur×moyenne des bases pour l'aire d'un trapèze, on obtient

2aire(MNBA)=2(AB-2+AB)=2(2AB-2)
2aire(ABCD)=AD(DC+AB)=(AB-DC)(AB+DC)=AB2-DC2
Donc aire(MNBA)=aire(MNCD)2aire(MNBA)=aire(ABCD) 4AB-4=(AB2-DC2)/2
AB2-8AB+8-DC2=0(AB-4)2-DC2=8 (d'après x2+2ax=(x+a)2-a2 : voir mise sous forme canonique d'un second degré)
|AB-4|2-DC2=8 (puisque |x|2=x2)
En utilisant la question préliminaire (on a le droit car |AB-4| et DC sont des entiers naturels), ceci équivaut à |AB-4|=3 et DC=1, soit AB=7 et DC=1 ou AB=1 et DC=1.
Mais AB=DC+AD>2, donc la seule solution possible est AB=7, DC=1, ce qui donne AD=6
Vérifions que ceci donne bien une solution (donc la seule) : HB=7-1=6 et HC=AD=6, donc CHB est bien isocèle et angle(ABC)=45░
MN=7-2=5 et 2aire(MNBA)=2(5+7)=24 et 2aire(MNCD)=(6-2)(1+5)=24, soit aire(MNBA)=aire(MNCD).

présentation olympiades