Olympiades 1ère S 2006

 

Exercice 1 (national)

Le plan , muni d'un repère orthonormal d'origine O (unité=1cm), est quadrillé par les droites paralléles aux axes de coordonnées et passant par tous les points à coordonnées entières du plan.

Sur ce quadrillage on construit, en partant du point O vers le bas, une ligne brisée en forme de "spirale" qui tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre (voir figure ci-dessous) :

Pour tout point M à coordonnées entières, on note L(M) la longueur de la portion de la "spirale" qui va du point O jusqu'au point M.

1) Soit P un point de l'axe des abscisses tel que OP=5. Déterminer les valeurs possibles de L(P).

2) Soit Q le point de coordonnées (2005;2006). Déterminer L(Q).

3) Déterminer les coordonnées du point R tel que L(R)=2006.

La "spirale" passe-t-elle effectivement par tous les points à coordonnées entières du plan ?

Exercice 2 (national)

1) On prend une feuille de papier de 21 cm de large et 29,7 cm de long (format A4).

On forme un cylindre en roulant la feuille de papier et en faisant coïncider deux bords opposés.

En faisant de même avec les deux autres bords opposés, on obtient un autre cylindre. Les deux cylindres ont-ils le même volume?

2) Dans une feuille de papier A4, on enlève deux triangles rectangles (ceux hachurés, voir figure ci-dessous) de mêmes dimensions :

On refait les deux mêmes opérations qu'à la question 1) : trouver la ou les valeurs de x (en cm) pour que les deux cylindres obtenus aient le même volume.


Solutions

Solution exercice 1

Toutes les longueurs considérées sont en cm.

Pour tout entier i³1, on considère les points Ai(i;-i), Bi(i,i), Ci(-i,i), Di(-i,-i) qui sont les sommets d'un carré Gi de centre O et de périmètre pi=8i , la longueur d'un côté étant 2i ;on note D'i(-i;-i-1) le point situé "en dessous" de Di. Enfin on notera O' le point (0,-1) ; on peut le noter aussi D'0.

Par observation de la figure, on "voit" que tous ces points sont sur la "spirale" et en outre, les côtés du carré Gi font aussi partie de la spirale, excepté le côté [DiAi], dont seul le sous-segment [D'i-1Ai] ([O'A1] dans le cas i=1) fait partie de la spirale.

Donc, pour tout entier i³1, tous les points (-i,k), (i,k), (k,i), (k,-i) avec k entier quelconque situé entre -i et i (compris), qui sont les points à coordonnées entières situés sur les côtés de Gi, sont sur la "spirale".

L(D1)=p1, car si [D1O'] ne fait pas partie de la spirale, il est compensé, au point de vue longueur par [OO'].

L(D2)=p1+p2, car on parcourt d'abord d'abord p1 pour arriver en D1, puis pour rejoindre G2 on parcourt le segment [D1D'1], avec D'1(-1;-2), et de D'1 à D2 on fait le tour de G2, excepté la partie [D2D'1] , ce qui fait un parcours supplémentaire de 1+p2-1=p2.

"etc"

donc pour tout entier i³1 on a L(Di)=p1+p2+...+pi.

Je ne vois pas ce qu'on peut faire de mieux, puisque la définition de la spirale est pratiquement "visuelle", cf l'énoncé.

D'où, puisque pi=8i, L(Di)=8(1+2+...+i)=8×(i(i+1))/2=4i(i+1), cf cours sur suite arithmétique.

Et L(Bi)=L(Di)-2×( longueur du côté de Gi)=4i(i+1)-4i=4i2, puisque lorsqu'on parcourt la spirale, avant d'arriver en Di on passe d'abord par Bi, puis on parcourt deux côtés de Gi.

En résumé L(Di)=4i(i+1)=4i2+4i et L(Bi)=4i2

On peut maintenant répondre aux questions posées presque immédiatement :

1) P est soit P1(5;0), soit P2(-5,0) : P1 et P2 sont les milieux de deux côtés du carré G5 (dont le périmètre est 40) :

P1 est le milieu de [A5B5], P2 est le milieu de [C5D5].

Comme L(B5)=4×52=100 on a

L(P1)=L(B5)-5=95 (car on arrive en P1 avant B1) et

L(P2)=L(P1)+p5/2=95+20=115, ou L(P2)=L(D5)-5=4×5×6-5=115.

2) Q(2005;2006) est situé sur G2006 : on arrive en Q "juste après" être passé en B2006(2006,2006), d'où

L(Q)=L(B2006)+1=4×20062+1=16096145.

3) On cherche R tel que L(R)=2006. Pour cela cherchons i tel que L(Bi)=4i2 soit proche de 2006 : en considérant la racine carrée de 2006/4, on voit que i doit être voisin de 22.

L(B22)=4×222=1936 et L(D22)=1936+88=2024.

Donc M est sur le carré G22, de côté 44. Or 2006=1936+44+22+4 : donc en étant en B22(22,22), pour arriver en M il faut parcourir, vers la gauche, le côté [B22,C22] pour arriver en C22, puis descendre jusqu'au milieu de [C22,D22], qui a pour abscisse -22 et ordonnée 0, et enfin descendre encore de 4.

Les coordonnées de R sont donc (-22;-4)

4) La question m'échappe un peu, car vu la figure (et l'énoncé dit : voir la figure), on "voit" clairement que tout point à coordonnées entières est sur la "spirale".

Précsisons un peu.

Soit M(x,y) un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs quelconques :

soit x=y=0, et alors M=O qui est bien sur la "spirale"

soit x et y ne sont pas tous les deux nuls, et donc i=max(|x|,|y|) est un entier ³1 et M est alors sur un des côtés du carré Gi et donc sur la "spirale" (voir début de la solution de l'exercice).

Solution exercice 2

1) Le volume d'un cylindre étant l'aire de la base fois la hauteur :

en faisant coïncider les deux "bords-largeurs" de la feuille on obtient un cylindre de base un cercle de périmètre 29,7 cm et de hauteur 21 cm, donc son volume est

V1=p(29,7/(2p))2×21=(1/(4p))×29,72×21 cm3 ;

en faisant coïncider les deux "bords-longueurs" on obtient un cylindre

de volume V2=p(21/(2p))2×29,7=(1/(4p))×212×29,7 cm3.

Ils sont différents.

2)Bien entendu la question n'a vraiment de sens que si x est dans [0;29,7[ ; en effet si x=29,7 , il ne reste plus rien de la feuille A4!

Si on rejoint les deux bords [AD] et [BC] on obtient un cylindre de base un cercle de périmètre AB=DC=29,7-x cm et de hauteur 21 cm : son volume est donc

V1=p((29,7-x)/(2p))2×21=(1/(4p))×(29,7-x)2×21 cm3 ; si x=0 on retrouve bien le V1 de la question 1).

Si on rejoint les deux bords [AB] et [DC] on obtient un cylindre de base un cercle de périmètre BC et de hauteur DD' où D' est le projeté orthogonal de D sur [BC] ; DD' est en fait la distance entre les deux bords [AD] et [BC].

Le volume est cette fois

V2=p(BC/(2p))2×DD'=(1/(4p))×BC2×DD' cm3.

Calculons BC et DD' en fonction de x.

Soit B' le projeté orthogonal de B sur [DC] : on B'C=x et le triangle BB'C étant rectangle, Pythagore donne tout de suite BC2=212+x2.

Par ailleurs les triangles rectangles BB'C et DD'C ont en C le même angle, donc leurs trois angles sont respectivement égaux et ainsi ils sont semblables.

On peut donc écrire BB'/DD'=BC/DC, soit 21/DD'=BC/(29,7-x) et DD'=21×(29,7-x)/BC, d'où

V2=(1/(4p))×BC×21×(29,7-x) cm3=(1/(4p))×Ö(212+x2) ×21×(29,7-x) cm3 ; si x=0 on retrouve bien le V2 de la question 1)

Donc V1=V2 équivaut à (29,7-x)2=Ö(212+x2) ×(29,7-x) ; mais 29,7-x est non nul (voir plus haut), donc on peut diviser les deux membres par 29,7-x et l'équation s'écrit 29,7-x=Ö(212+x2) ; comme x<29,7 les deux membres sont positifs, donc on obtient une équation équivalente en élevant au carré : (29,7-x)2=212+x2, ce qui donne

x=(29,72-212)/(2×29,7)=441,09/59,4»7,42 cm ; cette valeur est bien dans [0;29,7[.

Remarque : en fait cette valeur de x vérifiant 29,7-x=Ö(212+x2), on a BC2=212+x2=(29,7-x)2=AB2, et ainsi BC=AB=29,7-x, donc les deux cylindres ont la même base et aussi, ABCD est en fait un losange ; donc les deux distances entre les côtés opposés (c'est-à-dire les hauteurs des deux cylindres) sont les mêmes.
Vérifions le : DD'=21×(29,7-x)/BC=21×BC/BC=21, c'est-à-dire la distance entre les côtés [AD] et [BC] est celle entre les côtés [AB] et [DC].
En conclusion, pour cette valeur de x, non seulement les deux cylindres ont le même volume, mais en fait ils ont même base et même hauteur.

présentation olympiades