Olympiades 1ère S 2005

 

Exercice 1 (national)

Le lièvre et la tortue.

La piste du champiodrome a la forme suivante : deux arcs formant les trois quarts d'un cercle, raccordés par les deux diagonales d'un carré, ces deux diagonales se coupant en un carrefour :

Au même instant , une tortue et un lièvre partent du carrefour, empruntant deux diagonales différentes menant à deux arcs de cercles différents.

Sur le dessin une flèche pour la tortue, deux flèches pour le lièvre.

Les deux animaux courent à une vitesse constante, et la tortue met 363 secondes pour parcourir la distance parcourue par le lièvre en 1 seconde.

Après 2005 rencontres (dépassements sur la piste ou croisements au carrefour), hormis le départ, le lièvre abandonne.

Combien de fois avait-il croisé la tortue au carrefour?

Exercice 2 (national)

Le rectangle ci-dessous est pavé par 9 carrés. Le carré noir a pour côté l'unité.

Quelles sont les dimensions du rectangle? (Bien entendu ne pas compter les carreaux : il n'y avait pas de quadrillage le jour de l'épreuve ; je l'ai mis pour faciliter la vérification).

 


Solutions

Solution exercice 1

En fait, peu importe la longueur du circuit et sa forme : ce qui importe c'est qu'il est constitué de deux parties, les boucles B1 et B2 de même longueur raccordées au carrefour I.

La boucle B1 sera toujours parcourue dans le sens direct habituel et la boucle B2 dans le sens contraire.

Regardons ce qui se passe (L=lièvre, T=tortue)

lorsque L a parcouru B1 (son 1er demi-circuit), T a parcouru 1/363ième de B2

puis, lorsque L a parcouru B2 (son 2ième demi-circuit), L a doublé T, laquelle a parcouru 2/363ième de B2

puis, lorsque L a parcouru B1 (son 3ième demi-circuit), L a parcouru 3/363ième de B2

puis, lorsque L a parcouru B2 (son 4ième demi-circuit), L a doublé T, laquelle a parcouru 4/363ième de B2

etc.....

on voit donc que lorsque L aura parcouru 363 demi-circuits, L et T vont se croiser pour la 1ière fois au carrefour I (L venant de terminer B1 et T venant de terminer B2) ; et L aura dépassé T à chaque fois qu'il aura parcouru B2, c'est-à-dire au 2ième demi-circuit (B2) , au 4ième demi-circuit (B2),.....au 362ième demi-circuit (B2), soit 181 fois.

Ainsi le 1er croisement est en fait la 182ième rencontre (hormis le départ).

De même, le prochain croisement va se produire à la 182ième rencontre suivante, c'est-à-dire le kième croisement se produit lors de la 182×kième rencontre.

Comme 11×182=2002<2005<12×182, après 2005 rencontres L et T se sont croisés 11 fois au carrefour (hormis le départ).

Solution exercice 2

L'idée est d'écrire un systéme de 8 équations à 8 inconnues, les côtés des 8 carrés autres que le noir (remarque : sur la figure officielle les di n'étaient pas indiqués et la figure n'était évidemment pas quadrillée!).

Par lecture de la figure on obtient successivement :

d3=d8+1     d4 =d3+1    d5=d4+1    d2=d3+d8    d5+d4=d7+d8+d3

d2+d8=d1+d7    d6=d5+d7    d1=d7+d6

Je commence par calculer tous les di, en fonction de d8, puis je détermine d8

d3=d8+1     d4=d8+2     d5=d8+3     d2=2d8+1       

puis d8+3+d8+2=d7+d8+d8+1 donne d7=4

puis d1=d2+d8-d7=3d8-3, d6=d5+d7=d8+7 et enfin d1=d7+d6 donne 3d8-3=4+d8+7 soit d8=7.

D'où d1=18, d2=15, d3=8, d4=9, d5=10, d6=14, d7=4, d8=7.

Les dimensions du rectangle sont donc d1+d6=d2+d3+d4=32 et d1+d2=d6+d5+d4=33.

Resterait à vérfier qu'effectivement on peut paver un rectangle 32×33 avec les 9 carrés de côtés respectifs 1,4,7,8,9,10,14,15,18 : la figure quadrillée de l'énoncé le prouve!

 

présentation olympiades