Olympiades 1ère S 2004

 

Exercice 1 (national)

On définit pour chaque couple de réels (a,b) la fonction f par f(x)=a-Ö(x+b) où Ö désigne la racine carrée.

Deux nombres réels u et v distincts sont dits échangeables s'il existe au moins un couple de réels a et b tels que la fonction f vérifie à la fois f(u)=v et f(v)=u.

1) Montrer que 2 et 3 sont échangeables.

2) Peut-on en dire autant de 4 et 7?

3) A quelle condition deux entiers u et v distincts sont échangeables?

Exercice 2 (national)

Soit ABCD une feuille de papier rectangulaire de largeur AB=4 et de longueur BC=6.

Soit R un point de [AB] (bord inférieur de la feuille) et T un point de [AD] (bord droit de la feuille).

On replie la feuille suivant le segment [RT] et on appelle S la nouvelle position du point A (coin inférieur droit de la feuille).

Voir la figure ci-dessous :

Dans tout l'exercice, on s'intéresse au cas où S est sur le segment [BC] (bord gauche de la feuille).

On pose AR=x et AT=y.

1) Trouver les valeurs minimale et maximale de x.

2) Trouver une relation entre x et y lorsque S se déplace sur [BC]

3) Trouver la valeur de x pour laquelle l'aire de la partie repliée (triangle SRT) est minimale. Quelle est alors la nature du triangle AST?


Solutions

Solution exercice 1

Analysons le problème de façon générale :

u et v échangeables signifie il existe 2 réels a et b tels que u=a-Ö(v+b) et v=a-Ö(u+b) : par différence membre à membre on obtient v-u=Ö(v+b) -Ö(u+b), soit (toujours cette quantité conjuguée ) v-u=(v-u)/(Ö(v+b) +Ö(u+b)) et comme u-v n'est pas nul on obtient Ö(v+b) +Ö(u+b)=1.

Réciproquement si Ö(v+b) +Ö(u+b)=1 on aura v-u=(v-u)/(Ö(v+b) +Ö(u+b))=Ö(v+b) -Ö(u+b) et en prenant a=u+Ö(v+b) on a évidement u=a-Ö(v+b) et aussi v=u+Ö(v+b) -Ö(u+b)=a-Ö(u+b).

Donc u et v sont échangeables si et seulement si, il existe b tel que Ö(v+b) +Ö(u+b)=1 (et on prend a=u+Ö(v+b) ).

Il s'agit donc de résoudre l'équation

(E1) : Ö(v+b) +Ö(u+b)=1

On va procéder par des élévations successives au carré, mais il faut être très prudent car il y a équivalence entre a=b et a2=b2 que si a et b sont de même signe ; par exemple l'équation x=Ö(2x2-1) va donner par élévation au carré x2=1 soit x=1 ou x=-1, cette dernière n'étant pas en fait solution de l'équation initiale!

Par élévation au carré (E1) équivaut à

(E2) : u+v+2b+2Ö((u+b)(v+b)) =1 et u+b³0 et v+b³0 (les 2 membres de l'équation E1 sont bien ³0... à condition que le 1er membre soit défini!)

soit 2Ö((u+b)(v+b))=1-u-v-2b et u+b³0 et v+b³0

Par élévation au carré (E2) équivaut à

(E3) : 4(u+b)(v+b)=(1-u-v-2b)2 et 1-u-v-2b³0 et u+b³0 et v+b³0

 

Mais l'équation (E3) impose que (u+b)(v+b) soit positif ou nul , donc que u+b et v+b soient de même signe : ils seront positifs ou nuls si et seulement si par ailleurs leur somme l'est et donc (E3) équivaut à

(E4) 4(u+b)(v+b)=(1-u-v-2b)2 et 1³u+v+2b³0, qui est finalement la condition nécessaire et suffisante pour que u et v soient échangeables.

Par simple développement de 4(u+b)(v+b)=(2b+(u+v-1))2 on obtient 4(b2+(u+v)b+uv)=4b2+4b(u+v-1)+(u+v-1)2 et donc on trouve une seule possibilité pour b : b=((u+v-1)2-4uv)/4.

Mais attention cette valeur va conduire à dire u et v échangeables que si on a effectivement 1³u+v+2b³0.

Calculons u+v+2b=(2(u+v)+(u+v-1)2-4uv)/2=((u+v)2-4uv+1)/2=((u-v)2+1)/2 : cette quantité est toujours positive et donc u et v seront échangeables si et seulement si elle est inférieure ou égale à 1 soit si et seulement si

(u-v)2£1Û |u-v|£1Û-1£u-v£1

On peut donc maintenant donner la réponse aux 3 question posées :

1) u=2 et v=3 sont échangeables puisque (2-3)2£1: b=((2+3-1)2-4×2×3)/4=-2 et a=u+Ö(v+b)=2+1=3, c'est-à-dire f(x)=3-Ö(x-2) et on a bien f(2)=3 et f(3)=2.

2) Par contre u=4 et v=7 ne le sont pas puisque on n'a pas (4-7)2£1 ; d'ailleurs si on n'avait pas fait attention à l'aspect réciproque on aurait dit b=((4+7-1)2-4×4×7)/4=-3 et a=u+Ö(v+b)=4+2=6, d'où f(x)=6-Ö(x-3), mais là si f(7)=4 on n'a pas f(4)=7 mais f(4)=5 ; on peut vérifier que dans ce cas 1-u-v-2b n'est pas positif ou nul (il vaut -4).

3) Et en fait si u et v sont 2 entiers (naturels ou relatifs!) distincts on aura (u-v)2£1 uniquement si u et v sont 2 entiers consécutifs : c'est la condition pour que u et v entiers distincts soient échangeables.

Terminons par 2 remarques :

remarque 1

On peut vérifier que le résultat est bien vrai pour des entiers négatifs ; par exemple si u=-11 et v=-10 on obtient b=((-22)2-4×110))/4=11 et a= -11+Ö(-10+11)=-10 et f(x)=-10-Ö(11+x) qui vérifie bien f(-10)=-11 et f(-11)=-10.

remarque 2

D'une façon générale si u et v sont 2 entiers consécutifs avec u<v on a v=u+1, et on obtient b=-u et a=u+1, soit f(x)=u+1-Ö(x-u)=v-Ö(x-u) qui vérifie bien f(u)=v et f(v)=u.

Solution exercice 2

1) Les quantités introduites par l'énoncé x et y peuvent suggérer de fonctionner analytiquement : prenons donc comme repère le repère orthonormé d'origine A avec pour axe des abscisses la droite (AB) orientée de A vers B, et pour axe des ordonnées la droite (AD) orientée de A vers D.

On a donc A(0,0) B(4,0) C(4,6) D(0,6) R(x,0) T(0,y) et S(4,s).

Bien entendu l'énoncé se traduit par le fait que S et A sont symétriques par rapport à la droite (RT), S ne pouvant être en B car (RT) ne peut être paralléle à (AD) et donc s>0.

Evaluons x et y en fonction de s : pour cela je détermine l'équation de la médiatrice de [AS] en écrivant par exemple que le point M(X,Y) est sur cette médiatrice équivaut à dire qu'il est équidistant de A et S donc X2+Y2=(X-4)2+(Y-s)2 ce qui donne comme équation 8X+2sY-16-s2=0 et

en faisant Y=0 on obtient l'abscisse de R soit x=2+s2/8 (donc s et x varient dans le même sens, puisque la fonction s®s2 est strictement croissante sur R+).

(cette relation s'obtient aussi par Pythagore dans le triangle SBR : x2=s2+(4-x)2)

en faisant X=0 on obtient l'ordonnée de S soit y=8/s+s/2

Les valeurs admissibles de s doivent donc être telles que

a) x£4 (quelque soit s>0 on a x>0), soit s2£16 et donc 0<s£4

b) y£6 (quelque soit s>0 on a y>0), soit 8/s+s/2£6 soit (puisque s>0) s2-12s+16£0, et donc (voir signe d'un trinôme) sÎ[6-2Ö5;6+2Ö5], mais comme par ailleurs s ne peut dépasser 4

il faut que sÎ[6-2Ö5;4] :

la valeur minimum de x correspond à la valeur minimum de s soit xm=2+(6-2Ö5)2/8=3(3-Ö5) soit environ 2,2918 et pour cette valeur de s on a y=8/s+s/2=6, c'est-à-dire T est en D et S(4,6-2Ö5).

la valeur maximum de x est xM=4 qui correspond à la valeur maximale 4 de s : dans ce cas S(4,4) et T(0,4), c'est-à-dire ABST est un carré, [BT] et [AS] étant ses diagonales.

2) Comme y et s sont positifs la relation y=8/s+s/2 équivaut à y2=64/s2+s2/4+8 et compte tenu du fait que s2=8(x-2) on obtient y2=8/(x-2)+2(x-2)+8=2x2/(x-2).

3) L'aire du triangle SRT étant xy/2 (le symétrique d'un triangle rectangle est un triangle rectangle!), cette aire sera minimum si et seulement son carré est minimum soit si f(x)=(xy)2=2x4/(x-2) est minimum : un petit tableau de variation (f ' (x)=2x3(3x-8)/(x-2)2) montre que f a effectivement un minimum pour x=8/3.

Dans ce cas on vérifie AT=AS, en effet :

AT2=y2=2x2/(x-2)=(128/9)/(2/3)=64/3

AS2=16+s2=16+8(x-2)=16+8×2/3=64/3

et comme le triangle AST était déjà isocèle, il est équilatèral.

remarque

Les résultats des questions 1 et 2 peuvent aussi s'obtenir en écrivant que l'aire du carré ABCD est la somme des aires du trapèze CDTS et des triangles RAT, RST,SBR

présentation olympiades