Olympiades 1ère S 2003

 

Exercice 1 (national)

Les pages d'un livre sont numérotées de 1 à n (on rappelle que la page numérotée 1 est toujours une page de droite). On additionne les numéros de toutes les pages et on trouve un total égal à 2003. Mais deux pages numérotées sont restées collées et leurs numéros n'ont pas été comptés.

Quel est le nombre de pages du livre et les numéros des pages collées?

Exercice 2 (national)

On se propose de déterminer toutes les configurations de quatre points distincts A,B,C,D du plan tels que leurs distances mutuelles AB,AC,AD,BC,BD,CD, ne prennent que deux valeurs exactement x et y. C'est par exemple le cas lorsque ABCD est un carré, x est la longueur des côtés et y celle des diagonales.

1) Etude du cas <1,5> où l'une des distances est égale à x et les 5 autres à y.

Montrer qu'il existe, à l'ordre près des points, une seule configuration répondant à la question. Dessiner cette configuration.

2) Etude du cas <2,4> où deux distances sont égales à x et les quatres autres à y.

a) On suppose que les deux segments de longueur x n'ont pas de sommet commun. Quelle configuration obtient-on? La dessiner.

b) Que se passe t'il lorsque les deux segments de longueur x ont un sommet en commun?

3) Etudier le cas <3,3>.

 

Exercice 3 (national)

René dispose dans son jardin d'une très grande terrasse carrelée avec de très belles dalles carrées de 0,5m de côté. Il décide de construire sur cette terrasse une table ronde avec les pieds sur le bord et un parasol central. René est un bricoleur prévoyant, aussi, pour gagner en stabilité, il décide que la table devra avoir le maximum de pieds, tous solidement fixés dans le sol. Tout comme le parasol car on n'est jamais à l'abri d'un coup de vent ...Mais René est aussi un bricoleur soigneux ; alors, pour ne pas détériorer les dalles, il choisit de percer la terrasse uniquement aux intersections des joints de séparation.

La figure ci-dessous donne un exemple de table à 8 pieds.

Si n désigne le nombre de pieds de la table et d son diamètre exprimé en mètres, on définit le coefficient de solidité s de la table par la formule s=n/d. Une table est donc d'autant plus solide que son coefficient de solidité est élevé.

1) Calculer le coeffcient de solidité de la table dessinée ci-dessus.

2) Quelles sont les deux tables les plus petites? préciser leur coefficient de solidité.

3) Quel est le coeffcient de solidité maximal d'une table à 12 pieds?

4) Quelle est la table la plus solide?

5) René peut-il fabriquer une table à 16 pieds dont le diamètre exprimé en mètres est un nombre entier?


Solutions

Solution exercice 1

On cherche l'entier n tel que 1+2+...+n-(p+p+1)=2003 avec p+1£n, p et p+1 étant les numéros des 2 pages collées.

Donc n(n+1)/2=2003+2p+1, ce qui exige n(n+1)/2³2003 et comme n(n+1)/2 est croissant avec n, on vérifie aisément (calculatrice) que le plus petit entier vérifiant cette condition est 63 :

si n=63 alors n(n+1)/2=2016, donc 2p+1=13 et p=6

si n=64 alors n(n+1)/2=2080, donc 2p+1=77 et p=38

On constate que les premières valeurs suivantes ne conviennent pas, la différence n(n+1)/2-2003 étant trop grande.

Montrons que pour n³65 on a n(n+1)/2>2003+(n-1)+n et donc il sera impossible que n(n+1)/2=2003+p+p+1 avec p+1£n, puisque cette égalité exige n(n+1)/2£2003+(n-1)+n ;

n(n+1)/2-2003-(n-1)-n=(n(n-3)-4004)/2, et pour n³65 on a n(n-3)-4004³65*62-4004=26>0.

Finalement il n'y a que 2 possibilités :

soit le livre a 63 pages et les pages 6 et 7 sont collées, soit le livre a 64 pages et les pages 38 et 39 sont collées.

Solution exercice 2

1) Si AB=AC=AD=BC=BD¹CD=x (par exemple) alors les triangles ABC et ABD sont équilatéraux, et comme C¹D, c'est que C et D sont symétriques par rapport à [BC]. On a donc comme configuration 2 triangles équilatéraux, distincts, avec un côté commun ; ils forment un losange, une des diagonales ayant même longueur que les quatre côtés.

2)a) Si AB=BC=AD=CD¹BD=AC=x alors A et C sont sur la médiatrice de [BD] et comme AB=CD avec A¹C, ABCD est un losange avec ses diagonales [AC] et [BD] de même longueur, ABCD est donc un carré.

b) Si AB=BC=AD=AC¹BD=CD=x alors ABC est équilatéral, et D est sur la médiatrice de [BC]. Comme AD=BC, on a uniquement 2 possibilités, soit A et D de part et d'autre de [BC], c'est-à-dire on a un "cerf-volant", soit A et D du même côté de [BC].

                  

3) 1er cas : un point apparaît trois fois dans un groupe de trois distances, donc il n'est pas dans l'autre groupe de trois distances, lequel ne contient que les trois autres points.

Par exemple y=AB=AC=BC¹AD=BD=CD=x (D apparaît 3 fois dans le 2ième groupe) : alors ABC est équilatéral et D est le centre du cercle circonscrit à ABC, donc son centre de gravité.

2ième cas : aucun point n'apparaît trois fois dans un groupe, donc chaque groupe contient les quatre points (sinon un groupe ne contiendrait pas au moins un point, lequel apparaîtrait trois fois dans l'autre) et chaque point apparaît 2 fois dans un groupe et 1 fois dans l'autre.

Par exemple y=AC=BC=BD¹AD=AB=CD=x et BC>AD : les triangles BAD et ADC sont isométriques et isocèles en A et D (idem pour ACB et DBC) et donc angle(BAD)=angle(ADC)

Là il y a deux sous-cas à envisager :

1er sous-cas : B et C sont du même côté de (AD), voir figure ci-dessous

On a donc nécessairement un trapèze isocèle de petite base [AD] et grande base [BC] (pour voir que (AD)//(BC) on peut considérer les projetés orthogonaux B' et C' de B et C sur (AD) et vérifier que les triangles BB'A et CC'D sont isométriques, donc BB'=CC' ).

Les égalités d'angles indiquées sur la figure résultent de BAD et ADC isocèles et isométriques et (AD)//(BC).

Réciproquement si on considère un tel trapéze isocèle avec AD=AB=AC et angle (BAD)=angle(ADC), on a forcément AC=BD (puisque BAD et ADC sont isomètriques : 1 angle, 2 côtés adjacents) mais AC=BC n'est pas forcément vérifiée :

pour que AC=BC il faut et il suffit que ACB soit isocèle en C soit u=2v et comme 3v+u=p, v=p/5 et donc angle(BAD)=3p/5.

Réciproquement, un tel trapèze (AD=AB=CD et angle(BAD)=angle(ADC)) et angle(BAD)=3p/5 donne v=(p-3p/5)/2=p/5 et u=3p/5-p/5=2p/5, et donc angle(BAC)=u=2p/5=2v=angle(ABC) et AC=BC.

Donc le trapèze isocèle ci-dessus correpond à une configuration <3,3> si et seulement si on a en outre angle(BAD)=3p/5. Dans ce cas A,B,C,D sont quatre des cinq sommets d'un pentagone régulier!

2ième sous-cas : B et C sont de part et d'autre de (AD), voir figure ci-dessous

Cette fois (AB)//(CD) et on a nécessairement un parallélogramme dont une diagonale a même longueur que l'un des côtés.

Réciproquement pour un tel parallélogramme on aura aussi AC=BD, mais pas forcément AC=BC. Peut-on jouer sur u=angle(BAD) pour qu'il en soit ainsi, comme dans le cas ci-dessus? "Visiblement "non, mais le prouver sera mieux : ADC étant isocèle en D, angle(DAC)=(p-u)/2=p/2-u/2 et angle(BAC)=p/2+u/2, d'où si AC=BC le triangle ABC sera isocèle en C et il aura deux angles valant p/2+u/2 et dont la somme dépassera p. C'est impossible.

En conclusion le cas <3,3> est obtenu lorsque 3 points sont les sommets d'un triangle équilatéral et le 4ième le centre de gravité ou lorsque les quatre points sont les sommets d'un trapèze isocèle (dont la petite base a même longueur que les côtés) et dont les angles sont 3p/5 et 2p/5 (voir figure ci-dessus), c'est-à-dire les quatre points sont quatre des cinq sommets d'un pentagone régulier.

Solution exercice 3

1) s=8/d avec d=2rac((2*0,5)2+(0,5)2)=2*0,5rac(5) et s=8rac(5)/5@3,57.

2) Le centre de la table doit être une intersection, donc le plus petit rayon est 0,5 (la table est inscrite dans un bloc de 4 carreaux) et s=4, puis c'est un rayon rac((0,5)2+(0,5)2)=0,5rac(2) qui est possible (la table est circonscrite à un bloc de 4 carreaux) et s=4/rac(2)=2rac(2).

3) En fait si on prend comme origine d'un repère le centre de la table son rayon est r=rac((0,5u)2+(0,5v)2) avec (u,v) coordonnées d'un pied, u et v étant 2 entiers naturels non nuls tous les 2.

Ainsi tout diamètre d d'une table vérifie d2=u2+v2 avec u et v entiers naturels non nuls.

Il faut donc trouver le plus petit d (non nul) qui donne 12 pieds.Un pied étant défini par ses coordonnées (p,q) avec p et q entiers relatifs cette fois (cad ils peuvent être négatifs) il faut trouver le plus petit d tel que il y ait 12 couples (p,q) vérifiant p2+q2 =d2, avec p et q dans Z.

En procédant par essais successifs pour chaque équation ( on essaye de trouver q en fixant p=0,1,2,...£d)

si d2=02+12=1 , il n'y a que 4 solutions (0,+/-1) et (+/-1,0) pour p2+q2 =1

si d2=12+12=2, il n'y a que 4 solutions (+/-1,+/-1) pour p2+q2 =2

si d2=22+02=4, il n'y a que 4 solutions (0,+/-2 ) et (+/-2,0) pour p2+q2 =4

si d2=22+12=5, il n'y a que 8 solutions (c'est l'exemple de l'énoncé) pour p2+q2 =5

si d2=22+22=8, il n'y a que 4 solutions (+/-2,+/-2) pour p2+q2 =8

si d2=32+02=9, il n'y a que 4 solutions (0,+/-3) et (+/-3,0) pour p2+q2 =9

si d2=32+12=10, il n'y a que 8 solutions (+/-1,+/-3) et (+/-3,+/-1) pour p2+q2 =10

si d2=22+32=13, il n'y a que 8 solutions (+/-2,+/-3) et (+/-3,+/-2) pour p2+q2 =13

si d2=32+32=18, il n'y a que 4 solutions (+/-3,+/-3) pour p2+q2 =18

(attention, pour ce cas certains candidats se sont laissés abuser par la figure : ils ont cru qu'il y avait 12 pieds : les 4 précédents et ....(+/-1,+/-4) et (+/-4,+/-1) mais en fait 12+42=17 et pas 18!)

et enfin le cas attendu :

si d2=32+42=25, il y a 12 solutions (+/-3,+/-4) et (+/-4,+/-3) et (+/-5,0) et (0,+/-5) pour p2+q2 =25, cela car en fait d2 est un carré parfait (carré d'un nombre entier) et donc d=5 est un entier.

Donc le coefficient de solidité maximum pour une table à 12 pieds est12/5=2,4.

4) Tous les coefficients de solidité calculés jusqu'à présents sont inférieurs ou égaux à 4 ; montrons qu'effectivement la valeur maximum de s est 4, cad que le nombre de pieds est toujours inférieur ou égal à 4d.

Il faut donc montrer que le nombre de couples (u,v) avec u et v dans Z vérifiant p2+q2=d 2 est inférieur ou égal à 4d :

soit d est entier : il y a 4 solutions du type (0,+/-d) et (+/-d,0) et pour les solutions du type (p,q) avec p et q non nuls on a |p|£d-1, donc au plus 2d-2 possibilités pour p (+/-1,+/-2,......+/-(d-1) ) et comme pour chacune de ces 2 possibilités il y a au plus 2 possibilités pour q , on obtient au plus 2(2d-2) solutions soit en tout au plus 4+4d-4=4d solutions.

soit d pas entier : il n'y a pas de solutions avec p ou q nul et pour les solutions avec p et q non nuls on a |p|£k avec k le plus grand entier inférieur (strictement ) à d, donc au plus 2k possibilités, soit au plus 4k possibiltés pour (p,q), nombre qui est inférieur à 4d.

Le nombre de pieds est bien toujours £4d et la valeur maximum de s est bien 4.

5) Il faut trouver un entier naturel d tel que l'équation p2+q2=d2 admette exactement 16 couples solutions avec p et q dans Z (voir début de Q3).

Nécessairement p¹q, sinon on aurait rac(2)=d/p, donc rac(2)=rapport de 2 entiers, cad rac(2) serait un nombre rationnel ce qui est faux.

Comme (0,+/-d) et (+/-d,0) sont solutions on ne doit avoir que 12 solutions avec p et q non nuls distincts, donc que 3 solutions avec p>0, q>0, p et q distincts. Or si (p,q) est une telle solution , (q,p) en est une autre : donc le nombre de solutions avec p>0,q>0, p et q distincts ne peut être que pair et ainsi il ne pourra être égal à 3.

On ne peut pas fabriquer une table à 16 pieds avec d nombre entier de mètres.

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