Olympiades 1ère S 2002

 

Exercice 1 (national)

Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long.

La dernière fourmi du groupe décide d'aller ravitailler la fourmi chef et pour cela rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.

Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?

Exercice 2 (national)

10 personnes sont assises autour d'une table ronde.

10 jetons portant les numéros de 1 à 10 sont distribués au hasard à ces 10 personnes.

Chaque personne gagne une somme égale en euros au total du numéro de son propre jeton, de celui de son voisin de gauche et de celui de son voisin de droite.

1) A l'aide d'un procédé aléatoire de votre choix, donner un exemple de répartition des jetons. Sur cet exemple, indiquer le gain de chaque personne et la moyenne de ces dix gains.

2) Prouver que, quelle que soit la répartition des jetons, au moins une des dix personnes aura un gain supérieur ou égal à 17 euros.

3) Donner un exemple où tous les gains sont inférieurs ou égaux à 18 euros.

4) Dans la deuxième question, peut-on remplacer 17 par 18 ?

 

Exercice 3 (national)

On dispose :

* d'un damier carré formé de petits carrés identiques ;
* d'une pièce d'un seul tenant obtenue en accolant successivement par au moins un côté 9 petits carrés identiques à ceux du damier.
Le problème consiste à poser plusieurs exemplaires identiques de cette pièce sur le damier en respectant les règles suivantes :

* chaque exemplaire peut être tourné ou retourne ;
* chaque petit carré constituant les exemplaires recouvre exactement un petit carré du damier ;
* deux exemplaires ne peuvent pas se chevaucher.
1) Dessiner l'une des solutions si on pose quatre exemplaires de la pièce représentée ci-contre 

2) Montrer que, quelle que soit la forme de la pièce de départ, il est possible de poser deux exemplaires de cette pièce en respectant les règles ci-dessus.

3) Peut-on dans la question précédente remplacer deux par trois, par quatre, par cinq, etc. ?


Solutions

Solution exercice 1

On notera vf la vitesse de la fourmi et vc la vitesse de la colonne.

1ère méthode :

Soit A la position initiale de la queue de la colonne, B la position initiale de la tête de la colonne (= la position finale de la queue de la colonne), C la position finale de la tête de colonne.

Considérons le point P, situé entre B et C, où la fourmi ravitailleuse rejoint la tête de la colonne : cette fourmi a alors parcouru la distance 50+BP et pendant ce temps là, la tête de la colonne, elle, a parcouru la distance BP. On a donc (50+BP)/vf=BP/vc(= inverse de la durée commune de ces 2 trajets). Ensuite la fourmi ravitailleuse va aller de P à B et donc parcourir la distance PB alors que la tête de colonne, elle, pendant ce temps là va aller de P à C : on a donc PB/vf=PC/vc. Comme PC=50-BP on a finalement la relation (50+PB)/BP=BP/(50-PB) ce qui donne tout de suite BP^2=1250 soit BP=25*rac(2) et ainsi la distance totale parcourue par cla fourmi ravitailleuse est AB+BP+BP=50*(1+rac(2)).

On peut présenter les choses dans un tableau, en mettant sur une même ligne les distances parcourues simultanément par la fourmi ravitailleuse et la tête de la colonne :

   la fourmi parcourt  la tête de colonne parcourt
 pendant l'aller de la fourmi à la tête de la colonne  50+BP          BP
 pendant le retour de la fourmi en queue de colonne     BP       50-BP

Les élèves ayant choisi cette présentation ont évidemment fait le produit en croix (ce qui leur a donné la bonne valeur de BP) , mais il aurait fallu tout de même faire remarquer que cela est justifié par le fait que les 2 vitesses sont constantes (voir plus haut).                     

2ième méthode

Soit t1 l'instant au bout duquel la fourmi arrive en tête de la colonne : la tête de la colonne ayant parcouru vc*t1, la fourmi a alors parcouru 50+vc*t1 et donc vf*t1=50+vc*t1.

Soit t2 la durée que met la fourmi pour revenir à la queue de la colonne : pendant cette durée la tête de la colonne avance de vc*t2 et la fourmi recule de vf*t2. Mais au bout de cette durée la foumi s'est éloignée de 50 cm de la tête de la colonne et donc vc*t2+vf*t2=50.

Et bien entendu vc*(t1+t2)=50 puisque la tête de la colonne a avancé pendant la durée t1+t2 de 50 cm.

Il ne reste plus qu'à "triturer" les 3 équations. Des 2 premières on tire t1 et t2 que l'on reporte dans la 3ième : vc*(50/(vf-vc)+50/(vf+vc))=50 soit 2*vc*vf/(vf^2-vc^2)=1. En posant x=vf/vc on obtient 2*x/(x^2-1)=1 soit x^2-2*x-1=0 qui a pour seule solution positive x=1+rac(2) : la distance parcourue par la fourmi est donc vf*(t1+t2)=vf*50/vc=50*x=50*(1+rac(2)) soit environ 120,7cm.

Rem : c'est un exercice que l'on trouve dans de vieux livres de problème, parfois présenté en remplaçant la colonne des fourmis par une armée de 50km de long et la fourmi ravitailleuse par un cavalier partant de l'arrière-garde et allant porter un message en tête de l'armée.

 

Solution exercice 2

1) Je ne sais trop ce qu'ils voulaient avec leur procédé aléatoire! Pourquoi pas mettre les jetons autour de la table dans l'ordre suivant 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10? Toujours est-il que la somme des gains fait alors165 soit une moyenne de 16,5. En fait ce résulat est toujours vrai ; en effet quelque soit la disposition des jetons, dans le total des gains chaque jeton sera compté exactement 3 fois et donc la moyenne est toujours 3*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=16,5.

2) Si aucune personne n'a un gain supérieur ou égal à 17, c'est que toutes les personnes ont un gain <=16 et donc la moyenne serait <=16 ce qui impossible (puisqu'elle est toujours de 16,5) : donc il y a au moins une personne ayant un gain >=17.

3) Voici 2 exemples qui conviennent :

1;10;6;2;9;5;4;8;3;7 et 1;7;9;2;6;8;4;5;3;10

4) Remarquons tout de suite que 2 personnes côte à côte ne peuvent avoir le même gain car cela conduirait à j1+j2+j3=j2+j3+j4 et donc 2 jetons seraient égaux ce qui est impossible.

Est-ce que au moins une personne a un gain >=18?

Supposons que ce ne soit pas le cas : donc toutes les personnes ont un gain <=17. En outre, il y en a au moins 5 qui ont un gain en fait égal à 17.En effet, si uniquement p (avec 0<=p<=4) personnes avaient un gain de 17, les 10-p autres devraient avoir un total de 165-p*17 ; or ces personnes ont un gain <=16 donc leur total est <=16*(10-p) et 165-p*17-16*(10-p)=5-p>0 : c'est donc impossible.

Donc 2 cas à envisager :

soit 5 personnes ont un gain de 17 : les 5 autres (qui ont un gain <=16) doivent avoir un total de 165-5*17=80 et donc elles ont chacune un gain de 16. Ces gains sont donc forcément répartis dans cet ordre (cf remarque préliminaire) 17,16,17,16,17.....et donc j1+j2+j3=17, j2+j3+j4=16, j3+j4+j5=17, j4+j5+j6=16, j5+j6+j7=17 ce qui donne j1-j4=1 et j4-j7=-1 soit j1=j7 ce qui est impossible.

soit p personnes (p>=6) ont un gain de 17 : forcément 2 de ces gains vont être côte à côte ce qui est encore impossible.

Finalement au moins une des personnes a un gain >=18 et donc on peut remplacer 17 par 18 dans la deuxième question.

Voici une deuxième solution plus rapide :

soit P la personne ayant devant elle le jeton 1 ; notons P1,P2,...P9 les 9 autres personnes en parcourant, par exemple, la table dans le sens trigonométrique à partir de P et considérons les personnes P2,P5,P8. Un petit schéma permet de constater que la somme de leurs 3 gains est la somme des 9 jetons autres que 1, soit 54. Si toutes les personnes avaient un gain <= à 17 ces 3 personnes auraient en tout au plus 51 ce qui est contradictoire avec le fait qu'elles ont un total de 54, et donc au moins une personne a un gain >=18. On peut remplacer le jeton 1 par le jeton 2 ou 3 pour conclure, car 55-2 et 55-3 sont (tout comme 55-1) supérieurs à 51.

Solution exercice 3

1) La pièce proposée loge dans un carré 5*5 : donc il suffit de diviser le damier en 4 carrés 5*5 et de mettre dans chacun de ces carrés un exemplaire de la pièce

2) Toute pièce étant constituée que de 9 carreaux elle loge dans un 4 types de rectangle suivant : 9*1 ou 8*2 ou 7*3 ou 6*4 ou 5*5 (voir justification plus bas) ; or il est facile de vérifier que pour chaque type de rectangle on peut en mettre (au moins ) 4 dans le damier et donc en fait quelque soit la forme de la pièce on peut mettre jusqu'à 4 exemplaires de la pièce dans le damier. Voici la figure pour le cas des rectangles 6*4 :

Justifions que toute pièce peut être effectivement mise dans un rectangle 9*1 ou 8*2 ou 7*3 ou 6*4, c'est-à-dire dans une rectangle m*n avec m+n=10 :

Une pièce faite avec 2 carrés (et respectant bien sûr les consignes données ) loge évidemment dans un rectangle 2*1 ; si on ajoute un carré, une seule dimension de ce carré sera modifiée ( elle sera augmentée de 1), et donc une pièce de 3 carrés loge dans un rectangle 2*2 ou 3*1. De même si on ajoute encore un carré, la pièce de 4 carrés va loger dans un rectangle 3*2 ou 4*1 ; en poursuivant le procédé une pièce de 5 carrés loge dans 4*2 ou 3*3 ou 5*1, une pièce de 6 carrés loge dans 5*2 ou 4*3 ou 6*1, une pièce de 7 carrés loge dans 6*2 ou 5*3 ou 4*4 ou 7*1, etc (+ que 2 étapes à faire !).

Bien sûr il y a un peu mieux en faisant une récurrence, notion qui n'est pas au programme de 1S, mais à titre d'activité préparatoire à la TS montrons par récurrence la propriété : pour tout entier k>=2 une pièce loge dans un rectangle m*n avec m+m=k+1

a) c'est vrai pour k=2 puisqu'une pièce de 2 carrés loge dans un rectangle 2*1

b) montrons que si une pièce de k carrés loge dans un rectangle m*n avec m+n=k+1, c'est encore vrai pour une pièce de k+1 carrés ; en effet cette pièce va loger dans un rectangle m'*n' avec m'=m+1 et n'=n ou m'=m et n'=n+1 et dans les 2 cas m'+n'=m+m+1=(k+1)+1.

en appliquant b) au a) obtient que la propriété est vraie pour k=3, donc en réappliquant le b) au cas k=3 on obtient que la propriété est vraie pour k=4 ....etc (c'est le principe de récurrence ) : elle est vraie pour tout entier k>=2 ; en particulier pour k=9, cad toute pièce de 9 carrés loge dans un rectangle m*n avec m+m=9+1=10.

3) Là ca devient moins évident! Contrairement à ce que je pensais d'ailleurs au départ, la pièce proposée à la question 1 peut être mise au moins en 5 exemplaires sur le damier. J'ai alors essayé de voir si toutes les pièces possibles pouvaient être mises en 5 exemplaires, mais ca faisait beaucoup de cas à envisager! En fait il fallait penser à la pièce ayant la forme d'une croix (un carreau central, 2 sur la gauche , 2 sur la droite, 2 vers le haut et 2 vers le bas ) car elle, on ne peut pas la mettre en 5 exemplaires sur le damier :

En effet le petit carré central d'une telle croix ne peut qu'être dans le carré 6*6 central du damier (en rouge dans la figure ci-dessus), donc dans un des 4 sous-carrés 3*3 (en vert) de ce carré 6*6. On peut remarquer qu' une croix dont le petit carré central est dans un sous-carré 3*3 occupe 5 petits carrés de ce sous-carré (voir figure ci-dessus et mentalement on voit que c'est vrai pour les 8 autres cas) ; et donc si l'on pouvait mettre 5 telles croix (sans aucun chevauchement bien sûr) sur le damier forcément 2 de ces croix auraient leur petit carré central dans un des sous-carrés 3*3 et en occuperaient 10 petits carrés ce qui est bien sûr impossible. Cette croix ne peut donc être mise en 5 exemplaires sur le damier et donc c'est au plus 4 exemplaires de n'importe quelle pièce faite de 9 petits carrés que l'on peut mettre sur le damier.

présentation olympiades