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Enoncés : 40 à 44

Exercice 40  (Concours général 2007, exercice 1 ; mise en ligne en septembre 2008)
 
On appelle fonctions de type T0 les fonctions t définies sur [-1;1] par :
t(x)=ax2+bx+c, pour tout x dans [-1;1],

a, b, c étant des réels quelconques. Ces fonctions sont dites fonctions trinômes sur [-1;1].
Pour tout entier naturel non nul n, on appelle fonctions de type Tn les fonctions de la forme f+r|g|, r étant un réel quelconque et f,g des fonctions quelconques de type Tn-1.

1) Etablir que que la fonction j définie par j(x)=0 pour x dans [-1;0] et j(x)=x pour x dans [0;1], est de type T1.

2) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, si f est de type Tn-1, alors pour tout entier pn, f et |f| sont de type Tp.

3) Soit k0 et g une fonction définie sur [-1;1] telle que pour tout x dans [-1;1], |g(x)|k|x|.
Simplifier, pour x dans [-1;1], h(x)=|g(x)+kx|-|kx|.

4) Soient p et q deux fonctions trinômes sur [-1;1], avec p(0)=q(0),
et f la fonction définie sur [-1;1] par

f(x)=p(x) pour x dans [-1;0], f(x)=q(x) pour x dans [0;1].

Montrer qu'il existe un entier naturel n tel que f soit de type Tn.

Remarque :
par rapport à l'énoncé initial, j'ai rajouté les questions 2) et 3).

solution 

Exercice 41  (IMO 2008, exercice 2 ; mis en ligne en décembre 2008)
 
1) Montrer que pour tous les réels x, y, z différents de 1 et tels que xyz=1, on a
x2/(x-1)2+y2/(y-1)2+z2/(z-1)21

2) Montrer qu'il existe une infinité de triplets de nombres rationnels x, y, z différents de 1 et vérifiant xyz=1 pour lesquels l'inégalité ci-dessus est une égalité.

Aide :
pour tous réels a, b, c on a les identités suivantes : (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc et (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.

solution 

Exercice 42  (IMO 2007, exercice 5 ; mis en ligne en février 2009)
 
Soient a et b deux entiers naturels non nuls tels que 4ab-1 divise (4a2-1)2.
1) Montrer que 4ab-1 divise (a-b)2.
2) Montrer que a=b ; on pourra considérer pour kN* l'ensemble Sk des couples (u,v) d'entiers naturels non nuls tels que (u-v)2/(4uv-1)=k.

Aide :
1) Si l'entier (relatif ou naturel) n divise deux entiers p et q, alors pour tous les entiers p' et q', n divise aussi p'p+q'q.
Par exemple, puisque 3 divise 6 et 9, 3 divise aussi 6p'+9q', quelques soient les entiers p' et q'.

2) n, p, q étant des entiers, si n divise pq et est premier avec p, alors n divise q (Théorème de Gauss qui ne sera vu qu'en terminale scientifique ; on peut le démontrer en utilisant la décomposition en nombres premiers, voir l'idée au début de la solution de la question 5) de l'exercice 35).

Remarque :
par rapport à l'énoncé initial, j'ai rajouté la question 1, l'aide située dans la question 2 et l'aide ci-dessus.

solution 

Exercice 43  (IMO 2008, exercice 4, mis en ligne en mars 2009)
 
Trouver toutes les fontions f de ]0;+[ dans ]0;+[ telles que
(f(w))2+(f(x))2
f(y2)+f(z2)
= w2+x2
y2+z2
pour tous réels strictement positifs w,x,y,z vérifiant wx=yz.

solution 

Exercice 44  (Concours général 2008, exercice 3, question 1 , mis en ligne en avril 2009 )
 
1) Il s'agit d'une question préliminaire sur la fonction partie entière, un élève de 1ère S n'ayant pas encore trop rencontré cette fonction.

x étant un nombre réel quelconque, on appelle partie entière de x le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x, et on le note E(x) :
E(x) est l'unique entier relatif tel que E(x)x<E(x)+1.

Par exemple

E(0)=E(0,0001)=E(0,28)=E(0,9999)=0
E(1)=E(1,0001)=E(1,99)=1
E(-2,3)=-3
a) Faire la représentation graphique de la fonction E pour x[-5;5].

b) Montrer que pour tout entier naturel n et tout réel x on a E(x+n)=E(x)+n.
Et si n n'est pas dans Z?

c) Donner un encadrement de d(x)=x-E(x) et montrer que la fonction d est périodique. Comment peut-on qualifier cette fonction lorsque x est positif?

d) p et q étant deux réels non nuls de même signe, k un entier relatif quelconque, déterminer tous les réels x tels que E(px/q)=k.

2) Il s'agit cette fois de la 1ère question de l'exercice 3 du concours général.
Mon boucher ne connaît pas les centimes.
Par exemple, j'ai pris 300g de filet à 34,3 euros le kilo, 240g de viande hachée à 8,6 euros le kilo, et 640g de blanc de poulet à 12,99 le kilo : j'ai payé 10 euros pour le filet, 2 euros pour la viande hachée et 8 euros pour le poulet, soit 20 euros en tout.

En ramassant deux tickets par terre, le boucher lit :

  • 750g de côtelletes, 250g de rôti. Total : 18 euros.
  • 250g de côtelletes, 500g de rôti. Total : 17 euros.
Quels peuvent être les prix possibles pour le kilo de côtelletes et le kilo de rôti (on donnera toutes les solutions)?

solution 


 Solutions

Solution exercice 40

1) Notons que la définition de j est bien cohérente, quoique 0 soit dans les deux intervalles [-1;0] et [0;1]. En effet, dans les deux cas on obtient bien une seule valeur pour j(0) : 0.

On cherche 7 constantes a,b,c,a',b',c',r telles que


En fait, cela peut "rappeler" la propriété suivante :
Donc pour tout x dans [-1;1], on a j(x)=x/2+|x/2|=(x+|x|)/2, et j est bien du type T1 : on prend r=1 et f(x)=x/2, g(x)=x/2, cad a=a'=0, b=b'=1/2, c=c'=0.

Remarque : la fonction y définie sur [-1;1] par y(x)=x/2-|x/2| est aussi de type T1 (r=-1, f et g les mêmes que ci-dessus) ; pour x dans [-1;0], y(x)=x et pour x dans [0;1], y(x)=0.

2) Soit u la fonction nulle sur [-1;1] (c'est bien une fonction trinôme sur [-1;1] : a=b=c=0), donc u est de type T0.
Comme u=u+|u| (cad u(x)=u(x)+|u(x)| pour tout x dans [-1;1]), u est de type T1, et pour la même raison u est de type T2 : "etc", u est de type Tn pour tout entier naturel n.

f étant de type Tn-1, ainsi que u, alors f=f+|u| et |f|=u+|f| sont de type Tn ; mais f étant de type Tn, pour la même raison, f et |f| sont de type Tn+1 ; "etc", f et |f| sont de type Tp pour tout entier pn.

3) Rappelons que si a>0, |x|a -axa.

D'où pour x0, |g(x)|-kx, et donc kxg(x)-kx, ce qui donne g(x)+kx0 et h(x)=-g(x)-kx-(-kx)=-g(x).
Et si x0, |g(x)|kx, et donc -kxg(x)kx, ce qui donne g(x)+kx0 et h(x)=g(x)+kx-(kx)=g(x).
En résumé, si x0, h(x)=-g(x), et si x0, h(x)=g(x).

Remarque : si k=0 la simplification est immédiate puisqu'alors g(x)=0 pour tout x dans [-1;1], et donc on a aussi h(x)=0 pour tout x dans [-1;1]. Ceci est bien sûr cohérent avec le résultat ci-dessus.

4) Là aussi, la définition de f est bien cohérente, quoique 0 soit dans les deux intervalles [-1;0] et [0;1]. En effet, dans les deux cas on obtient bien une seule valeur pour f(0) : p(0)=q(0).

Notons p(x)=ax2+bx+c et q(x)=a'x2+b'x+c' (puisque p(0)=q(0), c'est que c=c') et posons g(x)=(q(x)-p(x))/2=(a'-a)x2/2+(b'-b)x/2.
Cf les propriétés |uv|=|u||v| et |u+v||u|+|v|, pour tous réels u et v, on a
|g(x)|(|a'-a||x|/2+|b'-b|/2)|x|, et comme x est dans [-1;1], soit |x|1, on obtient |g(x)|k|x| avec k=(|a'-a|+|b'-b|)/2.
On peut donc appliquer Q3 à h(x)=|g(x)+kx|-|kx| :


Finalement, pour tout x dans [-1;1], on a f(x)=(p(x)+q(x))/2+h(x)=u(x)+|v(x)| avec u(x)=(p(x)+q(x))/2-|kx| et v(x)=g(x)+kx.
On va conclure en montrant que u et v sont de type T1 :
Donc f est de type T2.

Remarque 1 :
Si p(x)=q(x), pour tout x dans [-1;1], alors pour tout x dans [-1;1], f(x)=p(x), et donc f est de type T0.

Si p(x)=0, q(x)=x alors f est la fonction j de Q1, donc f est de type T1.

Cela n'est pas contradictoire avec le résultat précédent : dire qu'une fonction est de type T2 ne veut pas dire qu'elle n'est pas de type T0 ou T1 ; simplement la démonstration précédente ne donne pas le plus petit n tel que f soit de type Tn.
Si on reprend la démonstration précédente dans ce dernier cas (p(x)=0, q(x)=x), on a k=1/2, u(x)=x/2-|x/2| et v(x)=x/2+x/2=x, qui sont respectivement de type T1 et T0, donc toutes les deux de type T1 (cf Q2).
Mais en fait f(x)=u(x)+|v(x)| se simplifie : f(x)=x/2+|x/2| (puisque -|x/2|+|x|=-|x/2|+2|x/2|) qui est de type T1.

Remarque 2 : la condition p(0)=q(0) n'étant pas imposée ici, on a
p(x)=q(x), pour tout x dans [-1;1] a=a' et b=b' et c=c'.

En effet, si p(x)=q(x) pour tout x dans [-1;1], c'est que pour tout x dans [-1;1] on a (a-a')x2+(b-b')x+(c-c')=0 ; il est alors nécessaire que a=a', sinon on aurait une équation du second degré avec une infinité de solutions, ce qui est impossible, et alors b=b', sinon on aurait une équation du premier degré avec une infinité de solutions, ce qui est impossible et finalement c=c'. La réciproque est évidente.

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Solution exercice 41

1) Posons A=x2/(x-1)2+y2/(y-1)2+z2/(z-1)2-1.
x, y, étant non nuls, on a
A=x2/(x-1)2+y2/(y-1)2+(1/(xy))2/(1/(xy)-1)2=(x2(y-1)2+y2(x-1)2)/(xy-(x+y)+1)2)+1/(1-xy)2-1.
Et en posant s=x+y, p=xy, on obtient
A=(2p2-2ps+s2-2p)/(p-s+1)2+1/(1-p)2-1
A=((2p2-2ps+s2-2p)(1-2p+p2)+(2p-p2)(p-s+1)2)/((p-s+1)2(1-p)2), et en développant courageusement le numérateur (d'après l'identité donnée dans l'aide on a (p-s+1)2=p2+s2+1-2ps+2p-2s),
A=(s2+p4-6p3+9p2-6ps+2sp2)/((p-s+1)2(1-p)2)
A=(s2+2s(p2-3p)+p4-6p3+9p2)/((p-s+1)2(1-p)2)
A=(s+p2-3p)2/((p-s+1)2(1-p)2), et donc A0, soit x2/(x-1)2+y2/(y-1)2+z2/(z-1)21.

Remarquons que si on revient à x et y, la dernière égalité donne
A=(x+y+(xy)2-3xy)2/((x-1)2(y-1)2(1-xy)2), et puisque xyz=1, 1/(1-xy)2=z2/(z-1)2, d'où
A=((x+y+(xy)2-3xy)z)2/((x-1)2(y-1)2(z-1)2)
soit, A=(xy+xz+yz-3)2/((x-1)2(y-1)2(z-1)2).

2) La remarque faite à la fin du 1) montre tout de suite que l'inégalité prouvée au 1) sera une égalité si et seulement si xyz=1 et xy+xz+yz-3=0.
Il s'agit donc de voir s'il existe une infinité de triplets (x,y,z) avec x, y, z rationnels vérifiant ces deux égalités. Cela revient à chercher y et z rationnels différents de 1, non nuls et tels que 1/z+yz+1/y-3=0 ; on peut considérer cette équation comme une équation (E) du second degré en y :

(E) z2y2+y(-3z+1)+z=0
.
Son discriminant est 9z2-6z+1-4z3=z2-2z+1-4z(z2-2z+1)=(z-1)2(1-4z), qui est un rationnel, puisque z est rationnel (la factorisation de ce discriminant vient du fait que 1 en est une racine visible, donc forcément ce discriminant est factorisable par z-1). Remarquons au préalable que l'équation ay2+by+c=0, avec a, b, c rationnels (a non nul) aura une solution rationnelle si et seulement si b2-4ac est le carré d'un nombre rationnel r.
En effet

L'équation (E) du second degré en y ci-dessus aura donc une solution rationnelle y si et seulement si son discriminant est le carré d'un rationnel, c'est-à-dire si et seulement si 1-4z est le carré d'un rationnel soit 1-4z=r2 avec r rationnel distinct de -1 et 1 (puisque z ne peut être nul).
Dans ce cas le discriminant est (r(z-1))2 et les solutions en y de l'équation (E) ci-dessus sont (voir l'aide sur l'identité (a+b)3=...)
y=(3z-1+ur(z-1))/(2z2)=(-2ur3-6r2-6ur-2)/(1-r2)2=-2(ur+1)3/(1-r2)2, avec u=-1 ou 1.

Pour u=1, y=-2(r+1)/(r-1)2, pour u=-1, y=-2(1-r)/(1+r)2, et donc on passe de la 1ère valeur de y à la 2ième en changeant r en -r ; donc les seules valeurs possibles pour y sont -2(r+1)/(r-1)2 avec r rationnel quelconque distinct de -1 et 1.

Les seuls triplets (x,y,z) constitués de trois rationnels différents de 1 et vérifiant xyz=1 pour lesquels l'inégalité du 1) soit une égalité sont (puisque x=1/yz)

x=2(r-1)/(r+1)2   y=-2(r+1)/(r-1)2   z=(1-r2)/4, pour r décrivant Q-{-1 ; 1}.

Il y en a bien une infinité (deux valeurs distinctes positives de r, donnent deux valeurs distinctes pour z) et si on change r en -r, x et y sont échangés, z restant inchangé.
.

On vérifie que ces trois valeurs sont toujours distinctes de 0 et toujours distinctes de 1 (car x=1 entraîne r2=-1, y=1 entraîne r2=-1, z=1 entraîne r2=-3).

Exemples :

rxyz
0-2-21/4
-2-62/9-3/4
22/9-6-3/4
-3-21/4-2
31/4-2-2
-4-10/96/25-15/4
46/25-10/9-15/4
-5-3/42/9-6
52/9-3/4-6

Complément.
On remarque dans le tableau ci-dessus, que, par exemple, des valeurs prises par x sont aussi des valeurs prises par z. Précisons cela.
En notant (x(r), y(r), z(r)) le triplet précédent, on a x(r')=z(r)r'=(r+3)/(1-r) ou r'=(-r+3)/(1+r).
En effet

(1-r2)/4=2(r'-1)/(1+r')2 équivaut à r'2(1-r2)-2r'(r2+3)+9-r2=0, équation du second degré en r' dont le discriminant est (8r)2.
D'où les deux solutions pour r' sont (2(r2+3)+8r)/(2(1-r2))=(r2+4r+3)/(1-r2)=(r+3)(r+1)/(1-r2)=(r+3)/(1-r)
et (2(r2+3)-8r)/(2(1-r2))=(r2-4r+3)/(1-r2)=(r-3)(r-1)/(1-r2)=(-r+3)/(1+r)
On peut alors vérifier que Ainsi on a trouvé deux fonctions f de Q-{-1 ;1 } dans Q-{-1 ; 1} telles que
{x(f(r)) ; y(f(r)) ; z(f(r))}={x(r) ; y(r) ; z(r)}.

Je laisse le lecteur, s'il en a envie, chercher toutes ces fonctions : par exemple en poursuivant la méthode ci-dessus, c'est-à-dire en cherchant r' tel que x(r')=y(r), soit r'=-r (solution évidente) ou r'=(r-3)/(r+1), puis en cherchant r' tel que x(r')=x(r), soit r'=r (solution évidente) ou r'=(r+3)/(r-1).

Finalement on obtient 6 fonctions (homographiques, car de la forme x->(ax+b)/(cx+d)), et (là, je dépasse le programme des classes de 1ère) elles forment un groupe (diédral) pour la composition des fonctions, car, entre autres, la composée de deux de ces fonctions est une de ces fonctions.
Rappelons que la composition de deux fonctions est une opération associative, c'est-à-dire fo(goh)=(fog)oh, cette valeur commune pouvant alors être notée fogoh.

Si on note ces 6 fonctions de Q-{-1 ; 1} dans Q-{-1 ; 1} par : alors le lecteur peut vérifier (bon exercice sur les composées de fonctions) que l'on a notamment

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Solution exercice 42

On remarquera tout d'abord que si a=b, alors 4ab-1=4a2-1 divise effectivement (4a2-1)2 ; le but de l'exercice est de montrer que justemment la seule possibilité est a=b.

1) L'aide donnée en fin d'énoncé permet de dire que 4ab-1 divise (4a2-1)2+4ab-1=4a(4a3-2a+b).
Mais 4ab-1 et 4a sont premiers entre eux, car si d divise ces deux nombres, alors d divise b(4a)-(4ab-1)=1, donc d=-1 ou 1 ; donc (théorème de Gauss, donné en aide) 4ab-1 divise 4a3-2a+b.
On en déduit que 4ab-1 divise b(4a3-2a+b)-a2(4ab-1)=(a-b)2.
Note : la relation b(4a)-(4ab-1)=1 est une relation de Bezout, mais le théorème de Bezout n'est pas connu d'un élève de 1ière S.

2) Supposons que a et b soient distincts et montrons que l'on arrive à une impossibilité.
4ab-1 divisant (a-b)2, c'est qu'il existe un entier k tel que k(4ab-1)=(a-b)2. Puisque 4ab-14-1=3 et que a et b sont distincts, k est un entier naturel non nul.
L'ensemble Sk est donc non vide puisqu'il contient au moins le couple (u,v)=(a,b).
Bien sûr, si le couple (u,v) est dans Sk, le couple (v,u) y est aussi.

Parmi tous les couples (u,v) de Sk, il y en a au moins un qui minimise u+v (cad qui donne la plus petite valeur possible pour u+v, entier naturel 2).
Soit (A,B) un tel couple ; puisque k est non nul et que (A-B)2/(4AB-1)=k, A et B sont distincts, et quitte à les échanger, on peut supposer A>B.
Considérons alors l'équation (x-B)2/(4xB-1)=k, d'inconnue x, avec x entier naturel non nul .
A en est évidemment solution : essayons de voir s'il existe un autre entier naturel non nul qui soit aussi solution.
L'équation s'écrit x2-(2B+4kB)x+B2+k=0 : c'est une équation du second degré. Or A est une solution, donc cf la somme des solutions est 2B+4kB, c'est qu'il y a une 2ième solution réelle (à priori pas forcément entière), qui est 2B+4kB-A : cette solution est en fait entière puisque A,B,k sont des entiers (naturels non nuls), mais reste à vérifier que cette 2ième solution est effectivement un entier naturel non nul.
Cela vient du fait que A étant solution de cette équation, A2-(2B+4kB)A+B2+k=0, et donc 2B+4kB-A=(B2+k)/A (cette égalité peut aussi se trouver en considérant le produit des racines) : comme A,B,k sont des entiers naturels non nuls, (B2+k)/A>0 et donc 2B+4kB-A=(B2+k)/A est un entier naturel non nul.
L'équation ci-dessus admet donc une autre solution que A qui est aussi un entier naturel non nul : (B2+k)/A (elle est effectivement distincte de A, car A=(B2+k)/A donne A2-B2=k, puis A+B=(A-B)/(4AB-1), 2B(A+B)=1, ce qui est impossible, A et B étant 1).
Donc le couple ((B2+k)/A,B) est aussi dans Sk, et, par définition du couple (A,B), on a nécessairement A+B(B2+k)/A+B : c'est cette inégalité qui va conduire à une impossibilité.
En effet, on en déduit successivement

A2-B2k
A2-B2(A-B)2/(4AB-1)
(4AB-1)(A+B)A-B (car 4AB-13>0 et A-B>0)
2B(A+B)1
ce qui est impossible, puisque A et B sont 1.
Donc on ne peut pas supposer que a et b soient distincts : ils sont donc égaux.

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Solution exercice 43

Il est évident que la fonction f définie par f(x)=x pour tout x>0 est solution de cette équation fonctionnelle : mais est-ce la seule?

Comme bien souvent on essaye des cas particuliers :

Bien entendu, à ce niveau, on n'a pas prouvé que soit, pour tout x>0 f(x)=x, soit pour tout x>0 f(x)=1/x : on va montrer que cela est effectivement vrai.

Pour cela, on va supposer qu'une solution f de l'équation fonctionnelle est telle qu'il existe deux réels a et b dans ]0;+[, avec f(a)=a et f(b)=1/b, et voir à quoi cela conduit.


Pour cela on utilise l'équation fonctionnnelle dans le cas particulier w=a, x=b et y=ab, z=1 (ainsi wx=yz).
On obtient alors, puisque f(x2)=(f(x))2, (a2+1/b2)/((f(ab))2+1)=(a2+b2)/((ab)2+1), soit
(a2+b2)((f(ab))2+1)=(a2+1/b2)((ab)2+1)
(a2+b2)((f(ab))2+1)=a4b2+2a2+1/b2.
Mais on a vu ci-dessus que nécessairement f(ab)=ab ou f(ab)=1/(ab), donc
Donc soit a=1 ou b=1.

Cela veut dire que si f est une solution de l'équation fonctionnelle, il ne peut exister a et b distincts de 1 tels que f(a)=a et f(b)=1/b, donc

Comme pour toute solution f, on a f(1)=1=1/1, c'est que si f est une solution de l'équation fonctionnelle, alors Donc les solutions de l'équation fonctionnelle sont à rechercher parmi f1 et f2.
On a déjà remarqué que f1 est effectivement solution ; on vérifie facilement que f2 est aussi solution et donc l'équation fonctionnelle proposée n'a que deux solutions : f1 et f2.

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Solution exercice 44

1)a
La courbe est constituée de 10 segments horizontaux, fermés à gauche, ouvert à droite et de longueur 1, d'ordonnées -5, -4,..., 3, 4 et du point isolé (5,5).

1)b
De E(x)x<E(x)+1, on tire E(x)+nx+n<E(x)+n+1 : donc E(x)+n est un entier relatif (car somme de deux entiers relatifs) inférieur ou égal à x+n, et augmenté de 1 il dépasse x+n, donc c'est le plus grand entier inférieur ou égal à x+n ; ainsi E(x+n)=E(x)+n.
Par contre si n n'est pas dans Z, E(x+n), qui est un entier relatif ne peut être égal à E(x)+n, puisque ce nombre, lui, n'est pas dans Z.

1)c
La définition de E donne tout de suite l'encadrement 0d(x)<1.
Et la question précédente donne E(x+1)=E(x)+1, et donc d(x+1)=E(x)+1-(x+1)=d(x) : la fonction d est de période 1.
Pour x positif, d(x) est évidemment la partie décimale de x.

1)d
x doit être tel que kpx/q<k+1, et comme p/q>0, en multipliant tout par q/p, on obtient qk/px<(k+1)q/p : l'ensemble des réels x cherchés est donc l'intervalle [qx/p;(k+1)q/p[.

2)
Analyse du préambule de l'énoncé : 300g à 34,3 euros le kg cela fait 0,3×34,3=10,29 euros à payer : mais ne pas payer les centimes, c'est payer 10 euros, soit E(10,29) euros.
C'est-à-dire, ne pas payer les centimes, revient à payer la partie entière du prix exact.

Donc si x est le prix au kg des côtelettes, y le prix au kg du rôti, on obtient le systéme suivant

En utilisant la question 1)d on remarque que : Donc, si x est dans l'intervalle [4k;4(k+1)[ on a E(0,25x)=k, mais E(0,75x) peut avoir plusieurs valeurs : De même si y est dans l'intervalle [4k';4(k'+1)[ on a E(0,25y)=k', mais E(0,5y) peut avoir plusieurs valeurs : Donc si x[4(3k+i)/3;4(3k+i+1)/3[ pour i=0 ou 1 ou 2 et si y[2(2k'+j);2(2k'+j+1)[ pour j=0 ou 1, alors Il faut donc trouver k, k', i, j tels que 3k+k'=18-i et k+2k'=17-j, en se limitant à i dans {0;1;2} et j dans {0;1} et k et k' deux entiers naturels (puisque ce sont les parties entières de réels positifs).
Ceci est équivalent à k=(19-2i+j)/5 et k'=(33+i-3j)/5.
k et k' étant deux entiers naturels, c'est que 19-2i+j et 33+i-3j doivent être divisibles par 5.
Or -4-2i0, 0j1 donnent -4j-2i1 soit 1519-2i+j20, et donc il n'y a que deux possibilités pour 19-2i+j : soit 19-2i+j=15, soit 19-2i+j=20, cad soit -2i+j=-4, soit -2i+j=1. -2i+j=-4 exige que j soit pair, donc j=0 et alors i=2, ce qui donne k=3, k'=7, lequel est bien entier naturel et alors x[4(3×3+2)/3;4(3×3+3)/3[=[44/3;16[ et y[2(2×7);2(2×7+1)[=[28;30[
-2i+j=1 exige que j soit impair, donc j=1 et alors i=0, ce qui donne k=4, k'=6, lequel est bien entier naturel et alors x[4(3×4)/3;4(3×4+1)/3[=[16;52/3[ et y[2(2×6+1);2(2×6+2)[=[26;28[
Finalement les couples solutions (x,y) cherchés sont ceux tels que x[44/3;16[ et y[28;30[
et ceux tels que ceux tels que x[16;52/3[ et y[26;28[
Il y a donc une "quadruple infinité" de couples solutions : si on représente graphiquement l'ensemble des points M(x,y) correspondants on obtient le domaine coloré en jaune ci-dessous

Ce domaine est constitué

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