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Enoncés : 35 à 39

Exercice 35  (Concours général 2006, exercice 1)
 
Si n est un entier naturel non nul, on note "aiai-1...a1a0" son écriture décimale. On a donc n=10iai+10i-1ai-1+...10a1+a0, les entiers aj, 0ji, sont compris, au sens large, entre 0 et 9 et ai0.
On désigne par q un entier compris, au sens large, entre 1 et 9, on pose p=10q-1 et l'on considère la fonction fq qui à tout entier naturel, non nul, n="aiai-1...a1a0" associe l'entier
fq(n)="aiai-1...a1"+qa0 ; si i=0, alors fq(n)=qa0. On notera que n étant entier naturel non nul, il en est de même pour fq(n).
Enfin, l'entier q étant fixé, on associe à tout entier naturel n non nul la suite (nk) définie par n0=n et pour tout entier naturel k, nk+1=fq(nk) : tous les termes de cette suite sont donc non nuls.
Par exemple, pour q=5, la suite associée à 4907 est 4907, 525, 77, 42, 14, 21, 7, 35, 28, 42, 14,...
puisque n0=4907
n1=f5(n0)=f5(4907)=490+5×7=525
n2=f5(n1)=f5(525)=52+5×5=77
n3=f5(n2)=f5(77)=7+5×7=42
n4=f5(n3)=f5(42)=4+5×2=14
n5=f5(n4)=f5(14)=1+5×4=21
etc
Questions :
1) Vérifier que fq(n)=(n+pa0)/10. En déduire que fq(p)=p.

2) (a) Montrer que si m>p, alors fq(m)<m.
    (b) En déduire que pour tout entier n (naturel, non nul), il existe un entier naturel j tel que njp.

3) (a) Montrer que si m<p alors fq(m)<p.
    (b) En déduire que pour tout entier n naturel non nul, la suite (nk) est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire qu'il existe des entiers naturels k et T (T>0) tels que nj+T=nj, pour tout jk.

4) Etablir que, pour tout entier n naturel non nul, qn-fq(n) est divisible par p.

5) Pour quelles valeurs de q la fonction fq a-t-elle des points fixes (c'est-à-dire des entiers naturels non nuls m tels que fq(m)=m) autres que p? Quels sont alors ces points fixes?

6) Montrer que, pour des choix convenables de q, l'étude de la suite (nk) associée à un entier n fournit des critères de divisibilité de n par 9, 19, 29, 13, 49 et 7. Enoncer ces critères.

Aides :
Aide 1 pour la question 5) : on admettra, r et s étant deux entiers naturels non nuls, que si 9 divise rs, et si r et 9 sont premiers entre eux, alors 9 divise s.
Pour un élève de TS, ce résultat est une application directe du théorème de Gauss.
En début de la solution de cette question 5, j'en donnerai cependant une preuve via la décomposition en nombres premiers.
Aide 2 pour la question 6) : on admettra que si d est un entier naturel divisant p et divisant qr (r étant aussi un entier naturel), alors d divise r.
Ceci est en fait une application presque immédiate des théorèmes de Bezout et de Gauss, théorèmes qui ne sont pas au programme de la 1ière S.
En début de la solution de cette question 6, j'en donnerai cependant une preuve directe.
Aide 3 : il est très souvent utile, en arithmétique, de savoir que si a et b sont deux entiers relatifs alors a>b a-1b.

solution 

Exercice 36  (Concours général 2006, exercice 3, partie I)
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O, i->, j->, k->) ; une flèche en haut et à droite d'une lettre (ou d'un groupe de deux lettres contiguës) signifie que cette lettre (ou ces deux lettres) désigne bien sûr un vecteur.
Soit P un plan et n-> un vecteur unitaire directeur d'une droite D orthogonale à P (cad n-> est un vecteur unitaire normal à P).
On pose, (il s'agit d'un produit scalaire), n->.k->=cosw, et l'on désigne par P0 le plan de repère (O, i->, j->).

1) Justifier l'écriture n->.k->=cosw.

2) On suppose dans cette question que P et P0 ne sont pas paralléles.

Soit D la droite intersection des plans P et P0, A et B des points de D, C un point de P, C' le projeté orthogonal de C sur le plan P0 et enfin H le projeté orthogonal de C sur la droite D.
(a) Justifier le fait que H est également le projeté orthogonal de C' sur la droite D.
(b) En déduire une relation entre les longueurs CH, CH' et l'angle w, puis entre les aires S et S' des triangles ABC et ABC'.
(c) Soit Q un polygone contenu dans le plan P, Q' son projeté orthogonal sur le plan P0, S et S' leurs aires respectives. Montrer que S'=|cosw|S.
3) Que dire dans le cas particulier où P et P0 sont paralléles?

4) On pose n->.i->=cosu et n->.j->=cosv.

(a) Montrer que les valeurs absolues des coordonnées de n-> dans la base (i->, j->, k->) sont |cosu|, |cosv|, |cosw|.
(b) Soit Q un polygone contenu dans le plan P, S son aire, S', S'', S''' les aires de ses projetés respectifs sur les plans de repères (O, i->, j->), (O, j->, k->), (O, k->, i->).
Montrer que S2=S'2+S''2+S'''2.

solution 

Exercice 37  (Concours général 2007, exercice 2)
 
On considère dans cet exercice tous les tableaux carrés à 9 cases dans lesquelles sont placés dans un certain ordre tous les entiers de 1 à 9. Par exemple :

 1  8  7 
 9  2  4 
 6  5  3 

A un tel tableau on associe les produits des éléments de ses lignes (56,72,90 dans l'exemple ci-dessus) et les produits de ses colonnes (54,80,84 dans l'exemple ci-dessus).

1) (a) Etant donné un tel tableau, montrer qu'il a au moins une ligne dont le produit des éléments est supérieur ou égal à 72.
(b) Donner un tableau de ce type dont les trois lignes ont un produit de leurs éléments inférieur ou égal à 72.

2) Etant donné un tableau de ce type, montrer qu'il a au moins une ligne ou une colonne dont le produit des éléments est supérieur ou égal à 90.

solution 

Exercice 38  (Une fois n'est pas coutume : cet exercice, adapté à de futurs élèves de Terminale S, provient en fait de la revue Quadrature n65)
 
On considère la suite u définie par : un=2n+3n+6n-1, pour tout entier naturel non nul. 1) Montrer que tout nombre premier divise au moins l'un des termes de la suite (on pourra commencer par calculer les neuf premiers termes de cette suite et faire une conjecture, qu'il faudra ensuite prouver).

2) Trouver tous les entiers strictement positifs qui sont premiers avec chaque terme de cette suite.

Aide :
on pourra utiliser le "petit" théorème de Fermat (non connu d'un élève de 1ère S, puisque ce théorème n'est au programme que de la terminale S, dans le cadre de l'option arithmétique) :

si p est un nombre 1er ne divisant pas l'entier relatif a, alors p divise ap-1-1 Par exemple 5 divise 10244-1, 11 divise 12010-1.
Bien entendu, si p divise a, alors il divise aussi ap-1, donc p ne peut diviser ap-1-1 puisque p ne divise pas 1 : par exemple 3 ne divise pas 62-1.

solution 

Exercice 39  (Olympiades Internationales Mathématiques 2007, exercice 4)
 
Dans un triangle ABC, la bissectrice de l'angle en C recoupe le cercle circonscrit à ABC en R, coupe la médiatrice de [BC] en P et la médiatrice de [AC] en Q.
Le milieu de [BC] est K, celui de [AC] est L.
Montrer que les triangles RPK et RQL ont la même aire.

Aide :
L'aire d'un triangle ABC quelconque est (1/2)AB×AC×sin(angle(BAC)), angle(BAC) désignant l'angle en A du triangle ABC.
Si besoin est, on pourra montrer que le point R de l'énoncé est situé sur la médiatrice de [AB].

solution 


 Solutions

Solution exercice 35

1) Si n="aiai-1...a1a0", alors

si i1, n=10"aiai-1...a1"+a0 et donc fq(n)=(n-a0)/10+qa0=(n+(10q-1)a0)/10=(n+pa0)/10
si i=0, n=a0 et fq(n)=qn=(p+1)n/10=(n+pa0)/10
On a bien, toujours, fq(n)=(n+pa0)/10.

2) (a) On suppose m>p et il faut montrer que fq(m)=(m+pa0)/10<m, ce qui équivaut à pa0<9m ; or a09 (voir hypothèse en début d'énoncé) et puisque on a supposé ici que p<m, c'est qu'effectivement (on peut multiplier membres à membres des inégalités de même sens, les quatres membres étant positifs) on a pa0<9m, soit fq(m)<m.
(b) Supposons que pour tout entier naturel j on ait nj>p ; alors cf le (a) nj+1=fq(nj)<nj et donc la suite (nj) serait strictement décroissante à partir du rang 0, donc n0>n1>n2....; or il s'agit d'entiers naturels, donc (voir aide 3), n0-1n1, n1-1n2, n2-1n3,...
Ainsi on aurait n0-1n1, n0-2n2, n0-3n3,...et donc pour k=n0 on aurait nk0, ce qui impossible, les nk étant des entiers naturels non nuls.
On n'a donc pas pour tout entier j, nj>p : il existe bien j tel que njp.

3) (a) Puisque fq(m)=(m+pa0)/10, si m<p alors on a, puisque par ailleurs a09, fq(m)<(p+9p)/10=p.
(b) D'après la question 2) (b), il existe i tel que nip :

soit ni=p, et comme, cf Q 1), fq(p)=p, pour tout ji, on a nj=p : la suite (nk) est constante à partir du rang 1 ; on peut dire qu'elle est périodique à partir du rang i et est de période 1 (en prenant T=1 et k=i, on a bien pour tout jk, nj+1=nj(=p)).

soit ni<p, et alors cf Q 3 (a), ni+1=fq(ni)<p, puis ni+2=fq(ni+1)<p, etc : pour tout ji on a nj<p. En particulier, ni, ni+1,..., ni+p-1 sont p entiers naturels (non nuls) appartenant à {1 ; 2 ; ... ; p-1}, lequel ensemble ne contient que p-1 éléments ; donc deux termes parmi ni, ni+1,..., ni+p-1 sont égaux : il existe k et k' tels que ik<k'i+p-1 avec nk=nk'.
En posant T=k'-k, donc 1Tp-1, on a nk+T=nk ; donc fq(nk+T)=fq(nk), soit nk+T+1=nk+1, puis en appliquant à nouveau fq, nk+T+2=nk+2, etc
Ainsi, pour tout jk, on a nj+T=nj : la suite est périodique à partir du rang k, et elle est de période T.

Cet aspect se vérifie sur l'exemple donné dans l'énoncé pour q=5 et n=4907 : la suite (nk) obtenue est effectivement périodique à partir du rang 3 et est de période 6.
Par contre, toujours avec q=5, si on prend n=49=p, alors la suite (nk) est périodique à partir du rang 0 et de période 1, puisque pour tout k0, on a nk=49.
Attention : la période T peut être grande (mais elle reste p-1, cf ci-dessus) : toujours avec q=5 (donc Tp-1=48), et si j'ai pas fait d'erreur sur ce coup...
si on prend n=15, la suite (nk) est périodique à partir du rang 0 et elle est de période T=42!
Enfin on notera, puisque, soit à partir d'un certain rang tous les ni sont égaux à p, soit il existe ni<p et tous les termes suivants sont inférieurs à p, c'est que
dans tous les cas, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite (nk) sont p.

4) qn-fq(n)=(10qn-n-pa0)/10=((p+1)n-n-pa0)/10=p(n-a0)/10 ; or n-a0 est un entier naturel divisible par 10, donc nq-fq(n)=pr, avec r entier naturel : nq-fq(n) est bien divisible par p.

5) Justifions tout d'abord le résultat de l'aide 1.
Par hypothèse, il existe un entier q tel 9q=rs, et comme 3 apparaît avec un exposant au moins égal 2 dans la décomposition en nombres premiers du membre de gauche, c'est qu'il apparaît aussi, avec le même exposant, dans celle du membre de droite ; mais comme r ne posséde pas le facteur premier 3 (sinon 9 et r ne seraient pas premiers entre eux), c'est que le facteur 3 ne provient que de s qui est donc divisible par 32=9.

Venons en à la question proprement dite.
Cf Q 2) (a), si m>p alors fq(m)<m, et donc m ne peut être point fixe : si m est point fixe nécessairement mp.
On a vu , voir Q1, que p est effectivement point fixe : il s'agit donc de voir s'il existe m tel que 0<m<p et qui soit point fixe.
En fait, a0 étant ici le dernier chiffre de m, fq(m)=m(m+pa0)/10=mpa0=9m. Comme par hypothèse m0, nécessairement a00.
Examinons ce qui se passe pour les différentes valeurs de q :

si q=1 alors p=9 et fq(m)=mm=a0 (cad m se réduit à son dernier chiffre) et donc si q=1, les points fixes autres que p=9 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (0 est à exclure car a00).

si q2, les valeurs de p sont 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89.
Or toutes ces valeurs, exceptées 39 (q=4) et 69 (q=7) ne sont pas divisibles par 3, donc 9 et p sont premiers entre eux, et cf a00 et l'aide 1, la condition pa0=9m exige que 9 divise a0, donc que a0=9, ce qui donne (puisque pa0=9m), m=p (qui est effectivement point fixe) : il n'y a pas de point fixe autre que p pour q=2, 3, 5, 6, 8, 9

si q=4 alors p=39 et la condition pa0=9m donne 13a0=3m, ce qui équivaut, en utilisant la même idée que celle de l'aide 1 (puisque 13 et 3 sont premiers entre eux), à 3 divise a0 : soit a0=3 et m=13, soit a0=6 et m=26, soit a0=9 et m=39=p
Donc si q=4 il y a deux points fixes autres que p=39, ce sont 13 et 26

si q=7 alors p=69 et la condition pa0=9m donne 23a0=3m, ce qui équivaut, en utilisant la même idée que celle de l'aide 1 (puisque 23 et 3 sont premiers entre eux), à 3 divise a0 : soit a0=3 et m=23, soit a0=6 et m=46, soit a0=9 et m=69=p
Donc si q=7 il y a deux points fixes autres que p=69, ce sont 23 et 46

6) Justifions tout d'abord le résultat de l'aide 2.
Les hypothèses d divise p et d divise qr se traduisent par p=dv et qr=du, avec u et v entiers naturels. Donc 10qr=10du, (p+1)r=10du, (dv+1)r=10du et finalement r=d(10u-vr), et comme 10u-vr est évidemment entier, c'est que d divise bien r.

Venons en à la question proprement dite.
Cf Q4, on sait que p divise qni-fq(ni)=qni-ni+1.

Donc si p divise ni, p divise qni, donc il divise la différence qni-(qni-ni+1)=ni+1, et réciproquement si p divise ni+1, p divise la somme (qni-ni+1)+ni+1=qni ; mais d'après l'aide 2 (on prend d=p), p divise ni Donc pour tout i0, on a p divise nip divise ni+1
Donc si p divise n=n0, c'est que p divise tous les ni ; or cf Q 2) (b) il existe j tel que njp, donc ce nj étant divisible par p, c'est qu'il est égal à p.
Réciproquement s'il existe j tel que nj=p, alors p divise nj, donc p divise nj-1,... donc p divise n0=n.
Finalement p divise n il existe j tel que nj=p à partir d'un certain rang les termes de la suite sont tous égaux à p (la dernière équivalence est immmédiate, puisque fq(p)=p).

Ceci donne tout de suite des critères de divisibilité par 9, 19, 29 , 39, 49, 59, 69, 79, 89, puisque ce sont les valeurs possibles pour p ; en particulier

n divisible par 9 il existe j tel que nj (pour q=1) =9
exemple 1 : n=1017, avec q=1 on a : n1=101+7=108, n2=10+8=18, n3=1+8=9, donc 1017 est divisible par 9
exemple 2 : n=1018, avec q=1, on a n1=101+8=109, n2=10+9=19, n3=1+9=10, n4=1+0=1, n5=1 : la suite reste constamment égale à 1. On obtient donc jamais 9 et 1018 n'est pas divisible par 9.

n divisible par 19 il existe j tel que nj (pour q=2) =19

n divisible par 29 il existe j tel que nj (pour q=3) =29

n divisible par 49 il existe j tel que nj (pour q=5) =49

Restent les cas de divisibilité par 13 et 7, qui ne sont pas des valeurs possibles de p, mais en fait 13 est un diviseur de 39 (valeur de p pour q=4) et 7 est un diviseur de 49 (valeur de p pour q=5).
On démontre alors, de façon analogue à ci-dessus que,
si p' divise p (pour l'aide 2 on prend d=p') p' divise nip' divise ni+1.

Donc, si p' divise n=n0, il va diviser tous les ni ; or cf Q 2) (b) il existe j tel que njp : donc ce nj étant divisible par p' c'est donc nécessairement un multiple de p' qui est inférieur ou égal à p.
Réciproquement, s'il existe nj qui soit un multiple de p' inférieur ou égal à p, c'est qu'il est divisible par p', et donc les ni précédents seront aussi divisibles par p', en particulier n=n0.
Finalement

p' étant un diviseur de p,    p' divise n il existe j tel que nj soit un multiple de p' et njp
Appliquons cela pour p'=13 et p'=7 : on se place dans le cas q=4, donc p=39 et p'=13 :
n divisible par 13 pour q=4, il existe j tel que nj=13 ou 26 ou 39.
On notera que 13, 26, 39 sont justement les points fixes de f4 et donc
n divisible par 13 à partir d'un certain rang, les termes de la suite (nk), (pour q=4), sont tous égaux à 13 ou tous égaux à 26 ou tous égaux à 39.

on se place dans le cas q=5, donc p=49 et p'=7 :
n divisible par 7 pour q=5, il existe j tel que nj=7 ou 14 ou 21 ou 28 ou 35 ou 42 ou 49.
On notera cette fois, qu'en dehors de 49=p, ces valeurs ne sont pas des points fixes de f5 (puisque, cf Q5, le seul point fixe de f5 est 49).
Précisons.
Cf le critère de divisibilité par 49 établit plus haut on peut dire :
n divisible par 7 et pas par 49 pour q=5, il existe j tel que nj=7 ou 14 ou 21 ou 28 ou 35 ou 42.
Cela est illustré par l'exemple donné par l'énoncé, où n=4907, et pour q=5, n3=42, et effectivement 4907 est divisible par 7 et pas par 49.
En fait cet exemple montre que
f5(42)=14, f5(14)=21, f5(21)=7, f5(7)=35, f5(35)=28 et f5(28)=42 ; cad (lorsque q=5) 42->14->21->7->35->28->42. Donc dès qu'un nj{7 ; 14; 21; 28 ; 35 ; 42}, les termes suivants de la suite vont rester dans cet ensemble et se succéder selon l'ordre 42->14->21->7->35->28->42 : à partir d'un certain rang la suite est de période 6 et les termes de la suite forment des répétitions du 6-uplet (42,14,21,7,35,8).
Réciproquement, si on a cette situation c'est qu'un nj est égal à 7 ou 14 ou 21 ou 28 ou 35 ou 42, et n est divisible par 7 et pas par 49 :
n divisible par 7 et pas par 49 pour q=5, à partir d'un certain rang les termes de la suite (nk) forment des répétitions du 6-uplet (42,14,21,7,35,8).

Attention : ces critéres de divisibilité peuvent être d'une efficacité discutable.
Par exemple pour savoir si n n'est pas divisible par 7, il faut montrer, pour q=5, qu'aucun nj n'est un multiple de 7 inférieur ou égal 49 ; pour arriver à cette conclusion, il faut calculer les termes de cette suite jusqu'à trouver une période, et s'assurer qu'alors aucun des termes obtenus n'est un multiple de 7 inférieur ou égal 49.
Si on prend n=15, il faut calculer 42 termes de la suite (voir fin de la solution de Q 3) (b)), pour s'apercevoir que 15 n'est pas divisible par 7...!

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Solution exercice 36

1) Le cours de 1ière S donne n->.k->=||n->||×||k->||cos(angle(n->,k->))=cos(angle(n->,k->)), n-> et k-> étant unitaires. En prenant, par exemple, w=angle(n->,k->) on a bien n->.k->=cosw.

2) (a)


Si C=C' (cad si CP0), évidemment H est le projeté orthogonal de C'=C sur D.
Si CC' et H=C' (cad P est orthogonal à P0), le résultat est évidemment aussi vrai.
En dehors de ces deux cas, H, C, C' sont distincts deux à deux (H=C exige aussi CP0, donc C=C') et on peut alors considérer le plan (HCC') et faire le raisonnement suivant.
Par définition de C', (CC') est orthogonale à P0, donc orthogonale à toute droite de P0, donc (CC')^D.
Par définition de H, (CH)^D et ainsi D est orthogonale à deux droites sécantes de (HCC'), d'où D^(HCC') ; ainsi D est orthogonale à toute droite du plan (HCC'), en particulier à la droite (C'H) : (C'H)^D, ce qui prouve que H est le projeté orthogonal de C' sur D.

(b) Placons nous dans le plan (HCC'), sous réserve que H, C, C' soient distincts deux à deux.


Ainsi D', la paralléle à D passant par H, est dans (HCC') ; comme par ailleurs D^(HC) (car (HC)P), on a aussi D'^(HC).
Et bien sûr, n-> (unitaire) est aussi vecteur directeur de D'.
Soit v-> le vecteur unitaire directeur de D' tel que k-> soit entre v-> et HC-> (voir figure ci-dessus ; v->=n->).
Soient q, q', q'', les angles( dans [0 ; p/2]) (v->, k->), (k->, HC->), (HC->, HC'->) : on a q+q'=q'+q''=p/2, donc q=q'' (il s'agit en fait de la propriété suivante : deux angles à côtés perpendiculaires sont égaux).
Donc v->.k->=||v->||||k->||cosq=cosq'', et comme v->.k->=n->.k->=cosw, on a cosw=cosq'', soit cosq''=|cosw|.
Enfin, de cosq''=HC'/HC, on tire HC'=HC|cosw|, et puisque aire(ABC)=AB×HC/2 et aire(ABC')=AB×HC'/2, on obtient aire(ABC')=|cosw|aire(ABC). A noter que cette relation est bien vraie, même si A=B, puisque les deux aires sont alors nulles.

Reste le cas où H,C,C' ne sont pas distincts deux à deux :


Retenons que A et B étant deux points quelconques de D, C un point quelconque de P, alors aire(ABC')=|cosw|aire(ABC).

(c)
Commencons par le cas particulier d'un trapèze CDH2H1 de P, où H1 et H2 sont les projetés orthogonaux de C et D sur D ; il s'agit bien d'un trapèze car (CH1)//(CH2), puisque ces deux droites de P sont perpendiculaires à D. Je laisse le lecteur se faire une petite figure...


On retiendra pour la suite que si C et D sont deux points quelconques de P, et H1, H2 leurs projetés orthogonaux sur D, et C', D' les projetés orthogonaux de C et D sur P0, alors aire(C'D'H2H1)=|cosw|aire(CDH2H1)

Considérons maintenant un polygone Q quelconque de P et Q' son projeté orthogonal sur P0. Quitte à faire une translation, on peut supposer Q d'un même côté de D, cela ne changera les aires de Q et Q'. Voici une figure où Q est le polygone CDEFG dont les sommets se projettent orthogonalement sur D en H1, H2, H3, H4, H5 :

En notant T1 le trapèze CDH2H1, T2 le trapèze DEH3H2, etc, on a aire(Q)=aire(T1)+aire(T2)-aire(T3)-aire(T4)-aire(T5).
Or en projetant ABCDE sur P0, cf le (a) les trapèzes Ti deviennent les trapèzes T'i ( T'1 est C'D'H2H1, etc) et on a encore évidemment aire(Q')=aire(T'1)+aire(T'2)-aire(T'3)-aire(T'4)-aire(T'5).
Le résultat qui vient d'être démontré permet de dire tout de suite que pour tout i on a aire(T'i)=|cosw|aire(Ti), et donc aire(Q')=|cosw|aire(Q).

3) Si P//P0, alors alors n-> et k-> sont colinéaires, et puisqu'ils sont unitaires n->=k->, donc n->.k->=1 et |cosw|=1.


Donc si P//P0, le résultat de 2) (c) est encore vrai.

4) (a) Notons x,y,z les coordonnées de n-> dans la base (i->, j->, k->) : n->=xi->+yj->+zk->.
D'où cosu=n->.i->=xi->.i->=x (puisque i-> est unitaire) ; de même, cosv=y, cosw=z. Et en passant aux valeurs absolues on obtient |x|=|cosu|, |y|=|cosv|, |z|=|cosw|.
Cf 2) (c), S'=|cosw|S, mais de façon analogue S''=|cosu|S, S'''=|cosv|S, ce qui donne
S'2+S''2+S'''2=((cousu)2+(cosv)2+(cosw)2)S2=||n->||2S2=S2.

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Solution exercice 37

1) (a) Si toutes les lignes ont un produit <72 :

Il est donc impossible que toutes les lignes aient un produit <72, donc au moins une ligne a un produit 72.

(b) On peut remarquer que 72=1×8×9=3×4×6 et les trois nombres restant 2, 5, 7 ont pour produit 7072, d'où le tableau ci-dessous répond à la question :

 1  8  9 
 3  4  6 
 2  5  7 

2) Si toutes les lignes et toutes les colonnes ont un produit <90, alors, comme 4×5×6=12090, le même raisonnement fait à 1) (a) permet de dire

Considérons alors la ligne et la colonne contenant 3 : chacune d'entre elles doit contenir 4 (sinon leur produit est 3×5×6=90). Donc cette ligne et cette colonne ont deux entiers en commun, ce qui est impossible.
Il est donc impossible que toutes les lignes et toutes les colonnes aient un produit <90, donc au moins une ligne ou une colonne a un produit 90.

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Solution exercice 38

1) u1=2×5 ; u2=3×24 ; u3=2×53 ; u4=24×3×29 ; u5=2×52×7×23;
u6=23×32×659 ; u7=2×53×1129 ; u8=25×3×11×1597 ; u9=2×5×11×41×2239.

On constate, en particulier, que 5 divise u3, 7 divise u5, 11 divise u9 : il semble donc que si p est un nombre premier 5, alors p divise up-2.
Prouvons le :
p étant premier 5 il ne divise pas 2, ni 3, ni 6.
On applique alors trois fois le petit théorème de Fermat :

On en déduit que up-2=(1+kp)/2+(1+k'p)/3+(1+k"p)/6-1=(k/2+k'/3+k"/6)p, soit 6up-2=(3k+2k'+6k")p. Donc p, nombre premier, divise l'entier naturel 6up-2 ; comme p ne fait pas partie de la décomposition en nombre premiers de 6, c'est que p fait partie de la décomposition en nombres premiers de up-2, donc p divise up-2 (note : un élève de 1ère S ne connaît pas le théorème de Gauss), et donc tout nombre premier 5 divise (au moins) un terme de la suite u ; comme 2 divise u1 et 3 divise u2, c'est que tout nombre premier divise un terme de la suite u.

2) Soit e est un entier naturel non nul : s'il est différent de 1, c'est qu'il admet un diviseur premier p, lequel va diviser un terme de la suite u, et ainsi e et ce terme de la suite u ne sont pas premiers entre eux et donc e n'est pas premier avec tous les termes de la suite u.
Comme 1 est évidemment premier avec tous les termes de la suite u, le seul entier naturel non nul qui est premier avec tous les termes de la suite u est donc 1.

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Solution exercice 39

Je vais commencer par montrer, si ACCB, que aire(RPK)=aire(RQL)2RCcos(u)=AC+CB, avec u la moitié de l'angle en C du triangle ABC, que l'on supposera non nul.

aire(RPK)=aire(RKC)-(1/2)PK×KC, puisque (PK)^(BC)
aire(RQL)=aire(RLC)-(1/2)LQ×LC, puisque (QL)^(AC)
aire(RKC)=(1/2)aire(RBC) puisque K milieu de [BC] et aire(RLC)=(1/2)aire(RAC), puisque L milieu de [AC]
aire(RBC)=(1/2)CB×CR×sin(u) et aire(RAC)=(1/2)CA×CR×sin(u).
Donc aire(RPK)=(1/4)CB(RCsin(u)-PK) et aire (RLQ)=(1/4)AC(RCsin(u)-LQ) et ainsi
aire(RPK)=aire(RQL)RC(AC-CB)sin(u)=AC×LQ-CB×PK.

Mais tan(u)=LQ/LC=PK/KC, donc LQ/PK=AC/CB et ainsi AC×LQ-CB×PK=AC2×PK/CB-CB×PK, et
aire(RPK)=aire(RQL)RC(AC-CB)sin(u)=PK(AC-CB)(AC+CB)/CB.

Si AC=CB on a donc prouvé qu'effectivement aire(RPK)=aire(RQL), ce qui était évident car dans ce cas, le triangle ABC est isocèle en C et alors P=Q=O (centre du cercle circonscrit à ABC) et les triangles RPK et RQL sont symétriques par rapport à (RC).
Reste le cas ACCB
Cette fois aire(RPK)=aire(RQL)RC×CBsin(u)=PK×(AC+CB).
Considérons R', le projeté orthogonal de R sur (CB) : RCsin(u)=RR' et tan(u)=PK/(BC/2)=RR'/R'C donnent RC×CBsin(u)=CB×RR'=2PK×R'C=2PK×RCcos(u), et ainsi (P et K sont distincts, l'angle en C de ABC ayant été supposé non nul) on obtient finalement
aire(RPK)=aire(RQL)2RCcos(u)=AC+CB ; on notera que dans la condition de droite, seul R apparaît (P et Q ont été "évacués").
On termine en considérant R'' le projeté orthogonal de R sur (AC).

D'où (dans le cas de figure où R' est entre B et C, et R'' à l'extérieur de [AC]) AC+CB=R''C-AR''+R'C+BR'=R''C+R'C=2R'C=2RCcos(u), ce qui prouve que aire(RPK)=aire(RQL).
Dans le cas où R' n'est pas entre B et C, c'est que angle(RBC) est obtu, donc angle (RAC) est aigu (puisque la somme de ces deux angles est p, RACB étant inscriptible) et R'' est entre A et C ; dans ce cas AC+CB=R''C+AR''+R'C-BR' qui est encore égal à 2RCcos(u).

A noter que la démonstration de 2RCcos(u)=AC+CB ne suppose pas que ACCB.

Remarque :
Soit H le point diamétralement opposé à R, et r le rayon du cercle circonscrit à ABC.
(RH)=(RO) étant la médiatrice de [AB], (RH) et (AB) se coupent en I milieu de [AB], et ainsi [AI] est la hauteur issue de R du triangle rectangle RAH.
Donc AH2=RH×IH=2rIH.
En outre angle(AHI)=(1/2)angle(AHB)=(1/2)angle(ACB) (cf angles inscrits), et donc angle(AHI)=u et cos(u)=IH/AH, ce qui donne 2RCcos(u)=2RC×IH/AH=RC×AH/r ; et comme on vient de montrer que 2RCcos(u)=AC+CB, c'est que RC×AH=r(AC+CB), relation qui se vérifie facilement dans le cas AC=CB (car alors H=C, RC=2r).

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