Deux constructions à la règle et au compas de la tangente en un point M à une ellipse, sans utiliser les foyers

I) : via 1 milieu, 1 cercle et 2 perpendiculaires

Voici la méthode, en connaissant de l'ellipse au départ que deux de ses sommets A et A' portés par un même axe, lequel n'est pas nécessairement le grand axe, et un point M distinct d'un sommet (voir remarque 3 ci-dessous).

Toutes les constructions proposées se font à la règle et au compas de façon évidente :

On déduit tout de suite de ce résultat la propriété suivante :
si M décrit une perpendiculaire à (AA'), excepté le point d'intersection avec (AA'), et ce point d'intersection étant strictement entre A et A', alors la tangente en M à l'ellipse passant par M et d'axe [AA'] coupe la droite (AA') en un pointe fixe : le point M2.
Tout simplement parceque le cercle C étant toujours le même, le point M1 est fixe, et donc M2 aussi ; voir remarque 1 pour l'existence et l'unicité de l'ellipse passant par M et d'axe [AA'].

1ière preuve du 4) :
dans un repére orthonormé d'origine O et dont l'axe des abscisses passe par A et A', l'équation de l'ellipse est x2/a2+y2/b2=1 avec a=OA.
Soit M(x0,y0) un point de l'ellipse qui n'est pas un sommet et tel que -a<x0<0 (cas de la figure).
La tangente en ce point M à l'ellipse a pour équation xx0/a2+yy0/b2=0, cf la courbe d'équation f(x,y)=0 a pour tangente en M(x0,y0) la droite d'équation (x-x0)f 'x0+(y-y0)f 'y0=0.
Cette tangente coupe donc l'axe des abscisse en T(a2/x0,0), ce qui veut dire que la tangente en M(x0,y0) à l'ellipse est la droite (MT).

Il reste à montrer que M2 est justemment ce point T.

Cf le triangle M2M1O est rectangle en M1, HM12=HO×HM2(la hauteur issue de M1 est moyenne géométrique des segments qu'elle découpe sur l'hypothénuse), soit
a2-x02=|x0|HM2.
D'où HM2=a2/|x0|-|x0|, et HM2+|x0|=a2/|x0|, cad
OM2=a2/|x0|, ce qui prouve que M2 a pour coordonnées (a2/x0,0), et ainsi on a bien M2=T.

2ième preuve du 4) :
sans aucun calcul, si on connaît les affinités.
Soit f l'affinité de base (AA') qui transforme M1 en M : elle transforme le cercle C en l'ellipse passant par A, A', M et telle que [AA'] soit un de ses axes (voir remarque 4 ci-dessous).
Cette affinité étant une application affine, elle conserve le contact, donc la tangente (M1M2) en M1 à C est transformée en la tangente (f(M1)f(M2)) en f(M1) à l'ellipse ; mais f(M1)=M et f(M2)=M2, puisque M2 est sur la base de f, et donc la tangente en M à l'ellipse est (MM2).

Remarque 1 :
A, A', M étant donnés, avec M tel que son projeté orthogonal sur (AA') soit strictement entre A et A', et M non sur [AA'], il existe une et une seule ellipse passant par A, A', M, et telle que [AA'] soit un de ses axes.
En effet dans le repère défini au début de la 1ière preuve, l'équation de l'ellipse est x2/OA2+y2/b2=1, et b>0 est déterminé par les coordonnées de M : b2=yM2/(1-xM2/OA2).

Remarque 2 :
si l'ellipse est un cercle, cad si l'ellipse est le cercle C de centre O passant par A, alors M1=M, et ensuite la construction se réduit effectivement à la construction d'une tangente à un cercle.

Remarque 3 :
si M est un des quatre sommets, la construction échoue :

Mais évidemment dans ces deux cas la construction de la tangente est immédiate, puisque elle est soit perpendiculaire à (AA'), soit paralléle à (AA')!

Remarque 4 :
f est l'application affine qui à N(x,y) fait correspondre N'(x',y') avec x'=x et y'=ky où k est la constante yM/yM1, de sorte que f(M1)=M.
On notera que puisque M n'est ni en A, ni en A', yM et yM1 sont non nuls, donc k est bien défini et non nul.
Cf ces relations entre N et N', il est immédiat de vérifier que le cercle C est transformé en l'ellipse de centre O, de sommets A et A' et passant par M.

II) : via 1 médiatrice, 2 perpendiculaires et 2 cercles

Voici la méthode, en connaissant toujours de l'ellipse au départ que deux de ses sommets A et A' portés par un même axe, lequel n'est pas nécessairement le grand axe, et un point M distinct d'un sommet (voir remarque ci-dessous).

Là aussi, toutes les constructions proposées se font à la règle et au compas de façon évidente :

preuve :
cf le début de la 1ière preuve ci-dessus, il faut montrer que M4 est le point T.

Le triangle M3A'M2 étant rectangle en A', OA'2=OM2×OM3, soit
a2=|x0|OM3 et ainsi OM4=a2/|x0|, ce qui prouve que M4 a pour coordonnées (a2/x0,0), donc M4=T.

Remarque 1 :
si l'ellipse est un cercle, on peut vérifier que (MM4) et (MO) sont bien orthogonales.
En effet,
MM42=MM12+M4M12=MM12+(OM4-OM1)2
MM42=MM12+OM42+OM12-2k=OM2+OM42-2k, avec k=OM4×OM1.
Mais, k=OM3×OM2=OA'2, et, puisque l'ellipse est un cercle, k=OM2.
Finalement, MM42=OM42-OM2, et M4MO est bien rectangle en M.

Remarque 2 :
si, par exemple, M est en A' ou en B, autre sommet que A ou A', au dessus de (AA'), la construction échoue :

Mais évidemment dans ces deux cas la construction de la tangente est immédiate, puisque elle est soit perpendiculaire à (AA'), soit paralléle à (AA')!