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Chapitre 10
Calcul approché des racines carrées dans NB(10) d'un entier relatif
( NB(10) est l'ensemble des brenoms )

Rappel : un entier relatif a des racines carrées dans NB(10) Û il s'écrit 22u52vn, avec u,v entiers naturels, n entier relatif tel que n=1 ou 9 modulo 40 : voir P9.4 du chapitre 9.
Entrer dans le champ ci-dessous l'entier relatif n dont vous voulez les racines carrées ; cet entier relatif doit avoir au plus 8 chiffres et il doit être égal à 1 ou 9 modulo 40 (pour un entier relatif de la forme 22u52vn, voir remarque en bas de page),


puis lancer le calcul en cliquant sur le bouton ci-dessous (Java-script doit être activé, puisque le calcul est réalisé à l'aide d'un programme traduisant en Java-Script la méthode de P9.6) :


Et voici une valeur approchée à 10-8 près (au sens d10 : voir le chapitre 7 ) des brenoms entiers qui sont racines carrées de votre entier relatif n ; les 8 derniers chiffres de chacun des quatres développements décadiques affichés ci-dessous, sont exacts :
les racines carrées vont apparaître ici
Note : a est la solution de x2-x=0 se terminant par 5 : voir le chapitre 6 ; b étant la solution de cette même équation se terminant par 6, on a la relation 2a-1=a-b.

Vous pouvez vérifier, que pour chacune de ces racines carrées, on a ([ri]7)2-n=un entier naturel se terminant par au moins 8 zéros.
Par exemple, si vous rentrez n=1, vous allez constater qu'une des racines se termine par 74218751 et 742187512-1=5508423000000000 ( neuf zéros à la fin ) ; une autre (c'est -1) se termine par 99999999 et 999999992-1=9999999800000000 ( huit zéros à la fin ) ; voir exercice 3 du chapitre 2 pour (.....(9))2=1.
De même si vous rentrez n=-31, une des racines carrées se termine par 79027313 et 790273132-(-31)=6245316200000000 ( huit zéros à la fin ).

Bien entendu, vous pouvez rentrer un autre nombre.

Remarque : par exemple, pour chercher les racines carrées de 1640000=26×54×41, on cherche d'abord les racines carrées de 41 et on les multiplie par 23×52=200, cad on les multiplie par 2 et on ajoute deux zéros à la fin des développements.

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