Commencons par montrer le 2) de P4.1 : il existe un seul nombre décadique q tel que d=qx, et on en déduira le 1).

Tout d'abord q est nécessairement entier décadique
En effet si x a r chiffres après la virgule (avec r>0) et si q_-r est son dernier chiffre (il est non nul), alors (10^rq)x est un entier décadique dont le dernier chiffre est celui de c=q_-rx₀ ; pour que 10 divise c, puisque 10 est 1er avec x₀, il faudrait que 10 divise q_-r, ce qui est impossible : donc 10 ne divise pas c et donc c ne se termine pas par 0.
Finalement (10^rq)x est un entier décadique dont le dernier chiffre est non nul, donc qx est un nombre décadique avec r chiffres après la virgule : donc qx ne peut être égal à d (entier décadique).

Montrons qu'il existe effectivement un et un seul entier décadique tel que d=qx.
d=qxÛpour tout entier naturel n, [d]_n=[qx]_n, soit [d]_nº[qx]_n (10ⁿ⁺¹), cf D1.1,
Û pour tout entier naturel n, [d]_nº[q]_n[x]_n (10ⁿ⁺¹), cf D1.3 ; cette congruence sera notée R_n.
On va montrer par récurrence qu'il existe un seul entier décadique q (q_n étant son chiffre de rang n), vérifiant pour tout entier naturel n, la relation R_n.
R₀ est vérifiée ssi d₀ºq₀x₀ (10), ce qui donne une et une seule possibilité pour q₀, cf la propriété (P).
Supposons qu'il existe q₀, q₁, ..., q_n uniques tels que R₀, R₁,..., R_n soient vérifées :
R_n+1 sera vérifée Û 10ⁿ⁺¹d_n+1+[d]_nº (10ⁿ⁺¹q_n+1+[q]_n)(10ⁿ⁺¹x_n+1+[x]_n) (10ⁿ⁺²)
Û 10ⁿ⁺¹d_n+1+[d]_nº 10ⁿ⁺¹(q_n+1[x]_n+x_n+1[q]_n)+[q]_n[x]_n) (10ⁿ⁺²)
Mais par hypothèse de récurrence, R_n est vraie donc 10ⁿ⁺¹ divise [d]_n-[q]_n[x]_n et
R_n+1 sera vérifiée Û q_n+1[x]_nº([d]_n-[q]_n[x]_n)/10ⁿ⁺¹+d_n+1-x_n+1[q]_n=([d]_n+1-[x]_n+1[q]_n)/10ⁿ⁺¹ (10)
et comme [x]_nºx₀ (10), finalement
R_n+1 sera vérifiée Ûq_n+1x₀º([d]_n+1-[x]_n+1[q]_n)/10ⁿ⁺¹ (10)
Cf la propriété (P) il existe un seul q_n+1 dans {0;1;...;9} vérifiant cette relation, donc vérifiant R_n+1.
On vient donc de prouver par récurrence que pour tout entier naturel n, il existe un et un seul entier q_n dans {0;1;...;9} tel que R_n soit vérifiée, q étant l'entier décadique dont le chiffre de rang n est q_n.
Ce qui prouve l'existence d'un seul entier décadique q tel que d=qx.
Et donc l'équation d=qx a une seule solution q dans NB(10) : elle est en fait dans EN(10).

On en déduit la preuve du 1) de P4.1 :
evidemment en prenant d=1, on en déduit tout de suite qu'il existe un seul nombre décadique q (qui est en fait un entier décadique) tel que 1=qx : x est donc inversible, d'inverse 1/x=q qui est entier décadique.

On finit la preuve du 2) de P4.1 :
on peut alors expliciter la seule solution de l'équation d=qx : c'est q=d×(1/x), qui est bien entière décadique, puisque produit de deux entiers décadiques.

Venons en maintenant à la preuve du 3) de P4.1: la division.
Les d_i et D_i étant ceux définis dans l'énoncé de P4.1 (en rajoutant D₀=d), on peut effectivement écrire D_n-q_nx sous la forme 10 fois un entier décadique (D_n+1) car D_n et q_nx ont même dernier chiffre (par choix de q_n, puisque q_nx₀ et q_nx ont même dernier chiffre) et cf P2.4, D_n-q_nx se termine par 0.
On a les résultats suivants :

et

Cf plus haut on a q_n+1x₀º[D_n+1]₀ (10).
On peut écrire [D_n+1]₀=[10ⁿ⁺¹D_n+1]_n+1/10ⁿ⁺¹=[d-[q]_nx]_n+1/10ⁿ⁺¹ (c'est bien un entier naturel : le dernier chiffre de D_n+1!)
Mais [d-[q]_nx]_n+1º[d]_n+1-[[q]_n]_n+1[x]_n+1=[d]_n+1-[q]_n[x]_n+1 (10ⁿ⁺²) ;
or le membre de gauche de cette égalité est divisible par 10ⁿ⁺¹, donc le membre de droite aussi, d'où
[d-[q]_nx]_n+1/10ⁿ⁺¹º([d]_n+1-[q]_n[x]_n+1)/10ⁿ⁺¹ (10), soit
q_n+1x₀º([d]_n+1-[q]_n[x]_n+1)/10ⁿ⁺¹ (10) : c'est bien ce qu'il fallait prouver.

Exercice 2 :
Il s'agit de montrer que si un entier décadique x se termine par 0 et que son dernier chiffre non nul est 1 ou 3 ou 7 ou 9, alors il est inversible.
On a alors x=x'10ⁿ, avec n entier naturel³1 et x' entier décadique se terminant par 1 ou 3 ou 7 ou 9 : donc x est un produit d'inversibles (pour x' voir P4.1, pour 10ⁿ voir P3.6) donc inversible.
Précisons : 1/x=(1/x')10^-n, et comme 1/x' est entier décadique (voir P4.1) ne se terminant pas par 0 (sinon x'×(1/x') ne se terminerait pas par 1), 1/x n'est pas entier décadique. Par exemple 1/70=.....(285714),3.
Exercice 3
Soit x un entier décadique se terminant par 2 ou 4 ou 5 ou 6 ou 8.

S'il existe deux entiers naturels n et m tels que y=x/(2ⁿ5^m) soit un entier décadique se terminant par 1 ou 3 ou 7 ou 9, alors x est le produit de trois nombres inversibles y, 2ⁿ, 5^m, et donc x est inversible.

Réciproque : on suppose x inversible ; donc cet inverse n'est pas (voir P4.2) dans EN(10), cad 1/x posséde des chiffres après la virgule : 1/x=......,y_-1...y_-r, avec r³1.
Puisque x et 10^r(1/x) sont des entiers décadiques dont le produit est 10^r, donc qui se termine par 0, c'est que le produit de leurs derniers chiffres x₀ et y_-r se termine par 0 (puisque [x(10^r(1/x))]₀º[x]₀[10^r(1/x)]₀ (10)).

Remarque : cette preuve donne une méthode pour trouver m et n si x est inversible.

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Solution des exercices du chapitre 5

Exercice 1 : preuve de P5.2
preuve du 1)
Supposons, par exemple que 2ⁿ⁺¹ divise [x]_n et 5ⁿ⁺¹ divise [y]_n pour tout nÎN.
2ⁿ⁺¹ et 5ⁿ⁺¹ étant 1er entre eux, 10ⁿ⁺¹ divise [x]_n[y]_n, donc [x]_n[y]_nº 0 (10ⁿ⁺¹).
Mais cf D1.3, [xy]_nº[x]_n[y]_n (10ⁿ⁺¹), donc [xy]_nº0 (10ⁿ⁺¹) et [xy]_n=0 (puisque c'est un entier dans {0;1;...;10ⁿ⁺¹-1}) : les chiffres de rang £n de xy sont nuls, cela pour tout nÎN, donc xy=0

On suppose maintenant que xy=0 avec x et y non nuls.
Donc pour tout nÎn on a [xy]_n=0, soit puisque [xy]_nº[x]_n[y]_n (10ⁿ⁺¹), [x]_n[y]_nº0 (10ⁿ⁺¹), cad 10ⁿ⁺¹ divise [x]_n[y]_n.
En particulier x₀y₀ se terminent par 0.
Si x et y ne se terminent pas par 0, alors l'un (par exemple x) se termine par 5 et l'autre (par exemple y) par un chiffre pair non nul ; donc pour tout nÎN, [x]_n sera impair (il se termine par 5) et [y]_n sera pair
Comme 10ⁿ⁺¹ divise [x]_n[y]_n, c'est que 2ⁿ⁺¹ divise [x]_n[y]_n ; mais 2ⁿ⁺¹ est 1er avec [x]_n et donc 2ⁿ⁺¹ divise [y]_n ; de façon analogue 5ⁿ⁺¹ divise [x]_n.
Si x ou y a son dernier chiffre nul, alors x=10^ux' et y=10^vy', avec u et v entiers naturels (l'un est non nul), x' et y' entiers décadiques ne se terminant pas par zéro ; comme x'y'=0, c'est que
pour tout nÎN on a (par exemple) 2ⁿ⁺¹ divise [y']_n et 5ⁿ⁺¹ divise [x']_n.
si u=0, x=x' et pour tout nÎN on a 5ⁿ⁺¹ divise [x]_n
si u³1 alors

Explication du fait que le ou est exclusif :
si on a simultanément (pour tout nÎN, 2ⁿ⁺¹ divise [x]_n et 5ⁿ⁺¹ divise [y]_n) et (pour tout nÎN, 5ⁿ⁺¹ divise [x]_n et 2ⁿ⁺¹ divise [y]_n), alors, en particulier, 10ⁿ⁺¹ divise [x]_n, donc [x]_n=0, cela pour tout entier naturel n et donc x=0, ce qui est exclu par hypothèse.

preuve du 2)
Si 2ⁿ⁺¹ divise [x]_n, c'est que [x]_n=q_n2ⁿ⁺¹, avec q_n dans N. Mais x=Q_n10ⁿ⁺¹+[x]_n, avec Q_n entier décadique, et donc x=Q'_n2ⁿ⁺¹, avec Q'_n=Q_n5ⁿ⁺¹+q_n, entier décadique ce qui prouve que 2ⁿ⁺¹ divise x.

Si 2ⁿ⁺¹ divise x, c'est que x=Q'_n2ⁿ⁺¹, avec Q'_n entier décadique.
Donc [x]_n=[Q'_n2ⁿ⁺¹]_nº [Q'_n]_n[2ⁿ⁺¹]_n (10ⁿ⁺¹), d'après D1.3 ; mais 2ⁿ⁺¹ £10ⁿ⁺¹-1=9×10ⁿ+...+9×10+9 et donc 2ⁿ⁺¹ s'écrit, en écriture décimale, avec au plus n+1 chiffres, d'où [2ⁿ⁺¹]_n=2ⁿ⁺¹. Comme 2ⁿ⁺¹ divise 10ⁿ⁺¹, 2ⁿ⁺¹ divise [x]_n.
Même démonstration pour 5ⁿ⁺¹.

attention : par exemple, 3ⁿ⁺¹ est inversible dans EN(10), cf il se termine par 1 ou 3 ou 7 ou 9 : son inverse est u=(1/3)ⁿ⁺¹ avec 1/3=.....(6)7 inverse de 3 (voir P4.1). Donc il existe un entier décadique u tel que 1=3ⁿ⁺¹u.
Donc 3ⁿ⁺¹ divise 1 .... dans EN(10), mais pour autant 3ⁿ⁺¹ ne divise pas [1]_n=1 dans Z.
En fait si on refait le raisonnement précédent, [1]_n=1º [3ⁿ⁺¹]_n[u]_n=3ⁿ⁺¹[u]_n (10ⁿ⁺¹), mais 3ⁿ⁺¹ ne divisant pas 10ⁿ⁺¹ (dans Z), on ne peut conclure à 3ⁿ⁺¹ divise 1 (dans Z), ... heureusement!

preuve du 3)
Le sens gauche-droite est évident cf le 1) et le 2), puisque si x est diviseur de 0, c'est qu'il est associé à un autre diviseur de 0.
Supposons maintenant que x, entier décadique, soit tel que pour tout n dans N, 2ⁿ⁺¹ divise x : alors cf le 2), 2ⁿ⁺¹ divise [x]_n.
Considèrons maiantenant un diviseur de 0, y, se terminant par 5 (il en existe, voir par exemple l'exercice 2 ci-après) ; cf le 1), pour tout n dans N, 5ⁿ⁺¹ divise [y]_n, et alors, toujours cf le 1) xy=0 et x est bien diviseur de 0 (rappel : x a été supposé non nul).
Démonstration analogue dans le cas où 5ⁿ⁺¹ divise x pour tout n dans N.

Exercice 2
Rappelons que x=0 Û x²=0, cf exercice 6 du chapitre 2.
1) Si x est diviseur de 0, alors x¹0 et il existe z¹0 tel que xz=0 ; donc x²z=0 et comme x²¹0, c'est que x² est diviseur de 0.
Réciproquement, si x² est diviseur de 0, alors x², et donc x, est ¹0 et il existe z ¹0 tel que x²z=x(xz)=0 ; donc soit xz=0 et x est diviseur de 0 (associé à z), soit xz ¹0 et x est diviseur de 0 (associé à xz).

2) On applique le 1) puisque x=x₀².

Exercice 3
1) Il s'agit de montrer que 10ⁿ divise A_n+1-A_n.
De façon évidente 5ⁿ divise A_n et 5ⁿ⁺¹, donc 5ⁿ divise Aⁿ⁺¹ et ainsi 5ⁿ divise A_n+1-A_n.
A_n+1-A_n=A_n(5I_n+1-1) ; or 5I_n+1-1 est divisible par 2ⁿ⁺¹, donc 2ⁿ⁺¹, en particuler par 2ⁿ, divise aussi A_n+1-A_n.
2ⁿ et 5ⁿ étant premiers entre eux leur produit divise A_n+1-A_n, soit 10ⁿ divise A_n+1-A_n, et donc A_n+1 et A_n ont les mêmes n derniers chiffres
Par un raisonnement analogue on montre que 10ⁿ divise B_n+1-B_n et B_n+1 et B_n ont les mêmes n derniers chiffres.
I₁=1, I₂=1, I₃=5, I₄=I₅=I₆=13
A₁=5, A₂=25, A₃=625, A₄=40625, A₅=2640625
J₁=3, J₂=13, J₃=63, J₄=313 J₅=1563
B₁=6, B₁=156, B₃=19656, B₄=12304656 B₅=38464354656

2) Posons u_n=[A_n+1]_n, cad u_n est constitué des n+1 derniers chiffres de A_n+1 ; comme A_n+2 et A_n+1 ont mêmes n+1 derniers chiffres, les n+1 derniers chiffres de u_n+1 sont ceux de u_n.
On peut alors appliquer P1.2 : il existe effectivement un (seul) entier décadique x tel que [x]_n=u_n, ce qu'il fallait montrer.
Idem pour y.
[x]₄=[A₅]₄=[2640625]₄=40625 : ce sont les 5 derniers chiffres de x.
[y]₄=[B₅]₄=[38464354656]₄=54656 : ce sont les 5 derniers chiffres de y.

3)
Comme [A_n+1]_n est l'entier constitué des n+1 derniers chiffres de A_n+1, on a A_n+1º[A_n+1]_n (10ⁿ⁺¹) ; de même B_n+1º[B_n+1]_n (10ⁿ⁺¹).
Or de façon évidente 5ⁿ⁺¹ divise A_n+1, et comme A_n+1º[A_n+1]_n=[x]_n (10ⁿ⁺¹), c'est que 5ⁿ⁺¹ divise [x]_n ; de même 2ⁿ⁺¹ divise [y]_n, cela pour tout n³0.
Par application de P5.1 on en déduit que xy=0.

En fait 2ⁿ⁺¹×5ⁿ⁺¹=10ⁿ⁺¹ divise [x]_n[y]_n, ce qui veut dire que les n+1 chiffres de [x]_n[y]_n de rang £n sont nuls ; ceci reprouve que xy=0 puisque, cf D1.3, les chiffres de xy de rang £n sont les chiffres de [x]_n[y]_n de rang £n.

Vérification : [x]₃[y]₃=0625×4656=625×4656=2910000, et donc les 4 chiffres de [x]₃[y]₃ de rang£3 sont bien nuls,
et aussi [x]₄[y]₄=40625×54656=2220400000, et donc les 5 chiffres de [x]₄[y]₄ de rang£4 sont bien nuls.

Exercice 4
1) On cherche x et y deux entiers décadiques, dont les chiffres de rang n respectifs sont notés x_n et y_n, avec x₀=2, y₀=5 et tels que les chiffres de [x]_n[y]_n de rang£n soient nuls.
Notons, pour n³0, P_n la propriété : les chiffres de [x]_n[y]_n de rang£n sont nuls.
Puisque x₀=2 et y₀=5, [x]₀[y]₀=x₀y₀=10 et P₀ est vraie.
Pour n ³0, supposons trouvés les chiffres de x et y de rang£n tels que P₀,...,P_n soient vraies, et cherchons x_n+1 et y_n+1 pour que P_n+1 soit aussi vraie.
[x]_n+1[y]_n+1=(10ⁿ⁺¹x_n+1+[x]_n)(10ⁿ⁺¹y_n+1+[y]_n)=10²ⁿ⁺²x_n+1y_n+1+10ⁿ⁺¹(x_n+1[y]_n+y_n+1[x]_n)+[x]_n[y]_n.
Soit c_n+1 le chiffre de rang n+1 de [x]_n[y]_n : puisque les chiffres de [x]_n[y]_n de rang£n sont nuls, alors
les chiffres [x]_n+1[y]_n+1 de rang£n+1 seront nuls Ûx_n+1[y]_n+y_n+1[x]_n+c_n+1 se termine par 0
Û x_n+1[y]_n+y_n+1[x]_n+c_n+1 º0 (10)
Û 5x_n+1+2y_n+1º -c_n+1(10), puisque [x]_nºx₀=2 (10) et [y]_nºy₀=5 (10)
Or il existe u et v tels que 5u+2v=1 (cf Bezout, puisque 2 et 5 sont 1er entre eux) : on peut prendre u=1,v=-2 et donc 5(-c_n+1)+4c_n+1=-c_n+1.
D'où il suffit de prendre

2) Puisque pour tout n ³0 les chiffres de [x]_n[y]_n de rang£n sont nuls, c'est que les chiffres de xy de rang £n sont nuls, donc tous les chiffres de xy sont nuls : xy=0.

3) Pour déterminer un exemple, on va appliquer tel que le raisonnement précédent (rappel : c_n+1 est le chiffre de rang n+1 de [x]_n[y]_n).
x₀=2, y₀=5, [x]₀[y]₀=10, donc c₁=1
il faut 5x₁+2y₁º-1 (10) : x₁=1, y₁=2, [x]₁[y]₁=12×25=300, c₂=3 (nota : on aurait pu prendre x₁=9 et =2)
il faut 5x₂+2y₂º-3 (10) : x₂=1, y₂=1, [x]₂[y]₂=112×125=1400, c₃=4
il faut 5x₃+2y₃º-4 (10) : x₃=2, y₃=3, [x]₃[y]₃=2112×3125=6600000, c₄=0
il faut 5x₄+2y₄º0 (10) : x₄=0, y₄=0, [x]₄[y]₄=02112×03125=6600000, c₅=6
il faut 5x₅+2y₅º-6 (10) : x₅=0, y₅=2, [x]₅[y]₅=002112×203125=429000000, c₆=9
il faut 5x₆+2y₆º-9 (10) : x₆=1, y₆=8, [x]₆[y]₆=1002112×8203125=8220450000000, c₇=5
etc
On a donc trouvé un autre exemple de deux diviseurs de 0 associés :

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Solution de l'exercice du chapitre 6

2) La 1ère équivalence résulte du fait que [x²]_n et [x]_n sont dans {0;1;2;...;10ⁿ⁺¹-1}, et la 2ième de D1.3.

3) Evident, puisque x²=x équivaut à [x²]_n=[x]_n, pour tout nÎN , cf D1.1.

4) [x]_n=10ⁿx_n+[x]_n-1 et donc ([x]_n)²=10²ⁿx_n²+([x]_n-1)²+2x_n[x]_n-110ⁿ
et donc x vérifie P_nÛ([x]_n-1)²+2x_n[x]_n-110ⁿ º10ⁿx_n+[x]_n-1 (10ⁿ⁺¹)
Û([x]_n-1)²-[x]_n-1+10ⁿx_n(2[x]_n-1-1)º0 (10ⁿ⁺¹).
Donc, si x vérifie P_n, nécessairement 10ⁿ divise ([x]_n-1)²-[x]_n-1, donc nécessairement x vérifie P_n-1 et alors on a aussi (([x]_n-1)²-[x]_n-1)/10ⁿ+x_n(2[x]_n-1-1)º 0 (10).
Réciproquement, si on a ces deux conditions, par multiplication par 10ⁿ de la 2ième, on voit que x vérifie P_n.
Donc x vérifie P_nÛx vérifie P_n-1 et (([x]_n-1)²-[x]_n-1)/10ⁿ+x_n(2[x]_n-1-1)º 0 (10).
Mais lorsque P_n-1 est vraie on a ([x]_n-1)²=K×10ⁿ+[x]_n-1, avec K entier naturel, dont le chiffre des unité est le chiffre de rang n de ([x]_n-1)², soit w_n ; donc K ºw_n (10) ; ainsi
x vérifie P_nÛx vérifie P_n-1 et w_n+x_n(2[x]_n-1-1)º 0 (10) ; enfin, comme [x]_n-1ºx₀ (10), on obtient
x vérifie P_nÛx vérifie P_n-1 et x_n(1-2x₀)º w_n (10)

5) x vérifie P₀Û([x]₀)²º[x]₀ (10)Û(x₀)²ºx₀ (10), cad x₀² se termine par x₀ :
il est alors immédiat de vérifier que les seules possibilités pour x₀ sont 0 ou 1 ou 5 ou 6.
x₀ étant une de ces quatre valeurs on constate que 1-2x₀º1 ou -1 (10), et donc l'inverse 1-2x₀ modulo 10 est 1-2x₀ et ainsi
x_n(1-2x₀)ºw_n (10) Û x_nºw_n(1-2x₀) (10).

Si x²=x on a évidemment P₀ vraie, donc x₀=0 ou 1 ou 5 ou 6 et pour tout nÎN^* on a x_nºw_n(1-2x₀) (10), cela cf les questions 3 et 4 et ci-dessus.
Réciproquement si on a x₀=0 ou 1 ou 5 ou 6 et pour tout nÎN^* on a x_nºw_n(1-2x₀)Ûx_n(1-2x₀)ºw_n (10) :
P₀ est alors vérifiée ; mais x₁(1-2x₀)ºw₁ (10) : donc P₁ vérifié d'après la question 4)
mais x₂(1-2x₀)ºw₂ (10), donc P₂ vérifiée d'après la question 4)
mais ... etc : P_n est vérifiée pour tout n³0 , donc x²=x.

6) Cf la question 5) et compte-tenu que si x₀ est fixé alors tous les x_n suivants sont déterminés de façon unique par x_nºw_n(1-2x₀) (10), l'équation x²=x a quatre solutions :
une qui se termine par 0, une qui se termine par 1, une qui se termine par 5, une qui se termine par 6.
Précisons ces quatre solutions (rappel w_n est le chiffre de rang n de ([x]_n-1)²).
si x₀=0

7) On a, pour tout nÎN^*, a_n=w_n (voir question précédente : cas x₀=5) ; donc le chiffre de rang n de a, qui est a_n, est le chiffre de rang n de ([a]_n-1)².
Mais a vérifie P_n-1, soit ([a]_n-1)²º[a]_n-1 (10ⁿ) ; par ailleurs [a]_nº[a]_n-1 (10ⁿ) et donc ([a]_n-1)² et [a]_n ont respectivement les mêmes n derniers chiffres, cad ceux de rang£n-1, et finalement les n+1 chiffres de [a]_n sont les n+1 derniers chiffres de ([a]_n-1)².

Montrons, par récurrence, que pour tout nÎN, [a]_n est constitué des n+1 derniers chiffres de 5^e avec e=2ⁿ.
C'est vrai pour n=0 car e=1, 5^e=5 et puisque [a]₀=5, [a]₀ est bien constitué du dernier chiffre de 5^e.
Supposons que la propriété soit vraie pour nÎN :
donc 5^e=[a]_n+K10ⁿ⁺¹, avec K dans Z ; on élève au carré et en notant e'=2ⁿ⁺¹, 5^e'=([a]_n)²+K²10²ⁿ⁺²+2K10ⁿ⁺¹[a]_n.
Mais on vient de voir que ([a]_n)²=[a]_n+1+K'10ⁿ⁺², avec K' dans Z, et en outre comme a₀=5, 2[a]_n se termine par zéro.
On peut alors écrire que 5^e'=[a]_n+1+K"10ⁿ⁺², avec K" dans Z : donc [a]_n+1 a pour n+2 chiffres les n+2 derniers chiffres de 5^e', donc la propriété est vraie pour n+1.

8) Posons z_n=10ⁿ⁺¹+1-[a]_n pour nÎN :
puisque [a]_nÎ{0;1;...;10ⁿ⁺¹-1} et se termine par 5, z_n est un entier naturel avec n+1 chiffres (avec des 0 éventuellement au début) et se terminant par 6 ; par ailleurs z_n+1-z_n=10ⁿ⁺²-10ⁿ⁺¹-([a]_n+1-[a]_n) et comme [a]_n+1-[a]_nº0 (10ⁿ⁺¹), on a z_n+1-z_nº0 (10ⁿ⁺¹).
Ainsi z_n+1 a pour n+1 derniers chiffres ceux de z_n et donc (voir P1.2) il existe un (seul) entier décadique z tel que [z]_n=z_n, pour tout nÎN.
Mais z_n²=10²ⁿ⁺²+1+([a]_n)²+2×10ⁿ⁺¹-2×10ⁿ⁺¹[a]_n-2[a]_n º1+([a]_n)²-2[a]_n (10ⁿ⁺¹) ;
et comme a vérifie P_n, on a z_n²º1+[a]_n-2[a]_nºz_n (10ⁿ⁺¹), soit ([z]_n)²º[z]_n (10ⁿ⁺¹), pour tout nÎN.
Donc l'entier décadique z vérifie P_n pour tout nÎN et ainsi z est solution de x²=x ; comme il se termine par 6, c'est que z=b.
Donc [b]_n=[z]_n=z_n=10ⁿ⁺¹+1-[a]_n, ce qu'il fallait montrer.

De [a]_n+[b]_n=10ⁿ⁺¹+1 on déduit que [a]_n+[b]_nº1 (10ⁿ⁺¹), soit [a]_n[b]_n+([b]_n)²º[b]_n (10ⁿ⁺¹), ce qui donne, puisque b vérifie P_n, [a]_n[b]_nº0 (10ⁿ⁺¹) et donc [a]_n[b]_n se termine par n+1 zéros.
Par exemple [a]₃[b]₃=0625×9376=625×9376=5860000.

Toujours de [a]_n+[b]_n=10ⁿ⁺¹+1 on retrouve tout de suite (voir exercice 2 du chapitre 1) que a+b=1.
Remarque : par contre a+b=1 ne permet pas de remonter à [a]_n+[b]_n=10ⁿ⁺¹+1 (voir exercice 2 du chapitre 1).

Enfin, retrouvons que ab=0 :
1ière façon : cf D1.3 et ci-dessus, on a, pour tout n³0, [ab]_nº[a]_n[b]_nº0 (10ⁿ⁺¹), et donc [ab]_n=0, cad tous les chiffres de ab de rang £n sont nuls, donc tous les chiffres de ab sont nuls et ab=0.
2ième façon : puisque a+b=1 est acquis, ab=a(1-a)=a-a²=0.

9) Supposons, par exemple que a soit périodique ; cf P3.7, a=p/q avec p dans Z^*, q dans Z^*. Donc p²/q²=p/q, soit p²q=pq², égalité valable dans N( puisque la × de NB(10) prolonge celle de D) et comme dans N il n'y a pas de diviseurs de 0, on a p=q soit a=1, ce qui est faux.

10) Puisque ab=0, la formule du binôme donne tout de suite (a-b)ⁿ=aⁿ+(-1)ⁿbⁿ=a+(-1)ⁿb, d'où

11)1ère méthode : on applique P5.2.
2ième méthode : a se termine par 5, donc 2a se termine par 0 et 2a=10a', avec a' entier décadique, soit a=5a' ; ce qui donne (puisque pour tout n dans N^*, aⁿ=a), pour tout n dans N^*, a=5ⁿa'ⁿ, ce qui prouve que 5ⁿ divise a.
Et pour b : b se termine par 6, 5b se termine par 0, 5b=10b', avec b' entier décadique, b=2b', ce qui donne, pour tout n dans N^*, b=2ⁿ(b')ⁿ.

12) Comme solutions de x²=1, il y a évidemment -1 et 1 ; mais aussi a-b et b-a, puisque on vient de voir (Q10) que (a-b)²=1, et donc aussi (b-a)²=1!
On verra au chapitre 9 que cette équation n'a pas d'autres solutions, c'est-à-dire, dans NB(10), 1 a exactement quatre racines carrées.

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Solution des exercices du chapitre 7

Exercice 1 : preuve de P7.1
Les premiers résultats sont évidents.
Prouvons |-x|₁₀=|x|₁₀.
cela résulte du fait que si x est un entier décadique, x et -x ont le même nombre de zéros à la fin, et si x est un nombre décadique avec des chiffres après la virgule, -x a le même nombre de chiffres après la virgule que x (voir P2.2 si le lecteur veut formaliser).

Prouvons |x+y|₁₀£max(|x|₁₀,|y|₁₀), avec égalité SI |x|₁₀¹|y|₁₀
1er cas : x et y entiers décadiques

Bien entendu, l'inégalité max(|x|₁₀,|y|₁₀)£|x|₁₀+|y|₁₀ est évidente.

Prouvons maintenant |xy|₁₀£|x|₁₀|y|₁₀
Cela revient à montrer que z(xy)³z(x)+z(y) ; on notera qu'il n'y a pas forcément égalité : si x=12,24, y=0,5 alors xy=6,12 et z(xy)=-2 alors que z(x)+z(y)=-2-1=-3 ou x=20, y=50 qui donnent z(xy)=3 alors que z(x)+z(y)=2
Dans le cas de deux entiers décadiques cette inégalité est évidente, puisque le nombre de zéros à la fin de xy est ³ à la somme du nombre de zéros à la fin de x et du nombre de zéros à la fin de y ; c'est aussi évident pour deux nombres décadiques avec chiffres après la virgule, puisque le rang de de la dernière décimale de xy est ³ à la somme des rangs des dernières décimales de x et y.
Reste le cas où x est un entier décadique et y un nombre décadique avec au moins un chiffre après la virgule (-z(y)³1) ; on notera que dans ce cas, z(x)+z(y)=z(x)-(-z(y)) est le nombre de zéros situés à la fin de x moins le nombre de chiffres après la virgule de y.
On a alors deux cas :
soit z(x)+z(y)³0

Exercice 2 : preuve de P7.2
les deux premiers résultats sont évidents (pour le 2ième, d₁₀(u_n,0)=10^-k avec k=u_n).

Les u_n étant des entiers décadiques, montrons que si lim₁₀u_n=l alors nécessairement l est un entier décadique
Sinon, l et donc l-u_n a au moins un chiffre après la virgule et |l-u_n|₁₀³10 : donc d₁₀(l,u_n) ne peut tendre vers 0 (au sens usuel), cad u_n ne peut tendre vers l (au sens de d₁₀).

Montrons que lim₁₀ u_n=lÛ pour tout entier K³ 1, il existe un entier naturel n₀ tel que pour tout n>n₀, les K derniers chiffres de u_n sont les K derniers chiffres de l
Cf ci-dessus l est un entier décadique, donc u_n-l aussi, et l'hypothèse se traduisant par lim₁₀u_n-l=0, c'est que z(u_n-l)= nombre de zéros à la fin de u_n-l tend vers l'infini (voir le 2ième résultat de cette propriété).
Donc lim₁₀ u_n=lÛ pour tout nombre K>0, il existe un entier naturel n₀ tel que pour tout n>n₀ on a z(u_n-l)>K.
Donc en prenant K entier quelconque, c'est que pour tout n>n₀, les K derniers chiffres (au moins) de u_n et l sont les mêmes.
Réciproquement, si pour tout entier K³ 1, il existe un entier naturel n₀ tel que pour tout n>n₀, les K derniers chiffres de u_n sont les K derniers chiffres de l, c'est que pour tout nombre K>0, il existe un entier naturel n₀ (on prend celui correspondant à K'=(partie entière de K)+1=E(K)+1) tel que pour tout n>n₀ on a z(u_n-1)>K'>K et donc lim₁₀ u_n=l.

Montrons que lim₁₀ xⁿ=0Ûx est un entier décadique se terminant par 0.
Tout d'abord notons que si y est un entier décadique ne se terminant pas par 0, il en est de même de toutes ses puissances :

Prouvons que lim₁₀ [x]_n=x
C'est tout simplement parce que pour n³0, x-[x]_n est un entier décadique se terminant par au moins n+1 zéros, donc le nombre de zéros à la fin de x-[x]_n tend vers l'infini et lim₁₀ x-[x]_n=0, soit lim₁₀ [x]_n=x.

Et le fait que x-[x]_n soit un entier décadique (lorsque n³0) qui se termine par au moins n+1 zéros, permet d'écrire |x-[x]_n|₁₀£10^-(n+1), ce qui prouve l'aspect valeur approchée. Bien entendu cette inégalité prouvait aussi lim₁₀ [x]_n=x.

Cette inégalité reste vraie pour 0>n³-r, car alors x-[x]_n aura au plus -(n+1) chiffres après la virgule ; par exemple si x=...1723,15674 alors [x]_-3=0,00674 et x-[x]_-3=...1723,15 a deux chiffres après la virgule (mais ca aurait pu être un seul, si 5 avait été 0) et donc sa norme est 10²£10^-(n+1), puisque n=-3 ; mais ce cas, en terme de valeur approchée n'est pas très intéressant car on majore la distance d₁₀(x,[x]_n) par des grands (au sens usuel) nombres!.

Exercice 3
Cf P7.3, les 10 derniers chiffres de -1/19=1/(1-x) avec x=20 (donc z(x)=1) sont les dix derniers chiffres de 1+20+...+20⁹=5389473668421, et donc
-1/19 se termine par 8947368421 et 1/19 par 1052631579
Evidemment, -1/19 et 1/19 étant des rationnels décadiques, leurs développements sont périodiques, mais il faut "aller plus loin" pour trouver leurs périodes.
On pourrait songer à utiliser P3.6, mais il faut commencer par chercher le développement de 1/19 dans R (voir ci-dessous ).
En fait on peut obtenir directement ce développement dans EN(10), cela en utilisant une idée qui permet de montrer que tout rationnel p-adique est périodique, idée qui aurait pu être utilisée pour prouver P3.7.
Voici cette idée : 19 et 10 étant premiers entre eux, 10^j(x)º1 (19), j étant la fonction d'Euler.
Donc 10¹⁸º1 (19) soit 10¹⁸-1=19q avec q dans N (q=52631578947368421).
Cf note ci-dessous, on peut alors écrire
-1/19=q/(1-10¹⁸)=qlim₁₀ (1+10¹⁸+...+(10¹⁸)ⁿ)=lim₁₀ (q+q10¹⁸+...+q(10¹⁸)ⁿ)).
Or q s'écrit avec 17 chiffres, et comme 17<18 et que par ailleurs pour tout entier K³1, -1/19 a pour K derniers chiffres les K derniers chiffres de (q+q10¹⁸+...+q(10¹⁸)ⁿ)), c'est que -1/19=.....(052631578947368421).
On notera que cette période, sur 18 chiffres, s'écrit "c(u)""u" avec u=947368421, les " " étant là pour indiquer qu'on juxtapose les entiers u et c(u).
c(-1/19) a donc pour période "u""c(u)", et comme 1/19=c(-1/19)+1, on obtient 1/19=.....("c(u)""u")D avec D=c(u)+1 : cad 1/19 a même période que -1/19, mais elle ne commence pas dès la fin, mais à partir de la 10ième décimale.
Et si on appliquait P3.6?
Par divisions euclidiennes "bien choisies" ou avec une calculatrice "puissante" ou en se reportant à la page 240 du livre Les inattendus mathémathiques de JP Delahaye, on trouve que dans R, 1/19=(s)..... avec s="c(u)""u" qui est sur 18 chiffres, ce qui conduit par application de P3.6 au développement suivant dans EN(10) de 1/19 :
1/19=.....(s')D' avec s'=c(s)="u""c(u)" et D'=c(s)+1 ; on remarque qu' ici la période, s', de 1/19 n'est pas la même que ci-dessus et en plus elle commence à partir de la 19 ième décimale, et non à partir de la 10ième.
Cela s'explique : D'="u""c(u)"+1="u""c(u)+1"="u""D", et donc on peut écrire 1/19=.....("c(u)""u")D : on retrouve le résultat ci-dessus.

Note : si lim₁₀ u_n=l, alors pour toute constante q on a : lim₁₀ qu_n=ql.
En effet |qu_n -ql|₁₀£|q|₁₀|u_n-l|₁₀ et comme lim |u_n -l|₁₀=0, on a lim |qu_n -ql|₁₀=0.

Exercice 4
1) Au bout d'une infinité de bonds

2) Soit x l'abscisse commune avant le bond de 1cm de la puce : x<0.

3) Je n'ai jamais été très performant en dissertations (toujours hors-sujet!)..., cependant voici deux "autres coïncidences" curieuses :

1ère coïncidence
Dans le corps des 2-adiques on a 1+2+2²+2³+...=1/(1-2)=-1

Bien entendu, dans R muni de la distance habituelle, la série u_n=2ⁿ est divergente (série géométrique dont la valeur absolue de la raison n'est pas inférieure à 1), mais autorisons nous à poser S=1+2+2²+2³+...=1+2+4+8+16+....
"Donc" -2S=-2-4-8-16 et par ajout membres à membres on obtient S-2S=1, soit S=-1!
En faisant des "tripatouillages" injustifiés sur une somme S qui n'existe pas dans R, on arrive à une valeur ... qui est la bonne dans les 2-adiques!

2ième coïncidence
Considérons cette fois la série u_n=n, qui elle aussi est divergente dans R, son terme général ne tendant pas vers zéro.
Là aussi posons tout de même S=1+2+3+4+5+6+7+8+........ et "tripatouillons"...

Et par ajout membre à membre on obtient S+2S+S-4S-8S-4S=1+0+0+0+0+0+0+0+0+..., soit S=-1/12.

En fait, un autre "tripatouillage" tout à différent va redonner S=-1/12 :
pour |x|<1, on a rigoureusement, dans R, 1-2x+3x²-4x³+...=1/(1+x)² (pour cela dériver la relation 1-x+x²-x³+...=1/(1+x)).
On fait alors, ce qui est interdit, x=1 dans cette identité, et on "obtient" 1-2+3-4+....=1/4 ; bien entendu cette égalité n'a aucun sens dans R, mais l'idée correspond au pincipe de sommation des séries divergentes d'Abel ( on devrait plutôt dire : au procédé d'Abel pour associer à une série divergente un nombre appelé somme^* ).
Revenons à S :
S=1+2+3+4+...=1-2+3-4+5-6+....+2(2+4+6+8+....)=1/4+4S, ce qui donne encore S=-1/12!! C'est tout de même étonnant.

Encore plus étonnant : cette "association" entre 1+2+3+4+.... et -1/12 se retrouve "presque rigoureusement" à l'aide de la fameuse fonction zéta de Riemann : x.
Cette fonction est définie pour Re(s)>1 par x(s)=1+1/2^s+1/3^s+.... ( note : cette série converge si et seulement si Re(s)>1) et elle se prolonge analytiquement sur C-{1}, cela de façon unique.
On démontre, rigoureusement, que la valeur de ce prolongement en -1 est -1/12, cad x(-1)=-1/12!!!
Si on remplace alors, dans l'égalité définissant x, s par -1, mais ce n'est pas rigoureux puisque on n'a pas Re(-1)>1, on obtient -1/12=1+1/2^-1+1/3^-1+1/4^-1+...=1+2+3+4+.... !!!!
De là à écrire, -1/12=1+2+3+4+.... sans en expliquer le moindre contexte ne me paraît pas sérieux.
D'ailleurs, sous prétexte que f(x)=sinx/x se prolonge par continuité en 0, en posant f(0)=1, personne n'écrit sérieusement sin(0)/0=1.

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