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Quelques énoncés 2011 particuliers à chaque académie

 Pour l'instant 2 énoncés Lyon, ?


Lyon


Le café de Julie.
Julie aime le café et se sert toujours une tasse de 200 mL.
Hier, elle a bu son café de la manière suivante : elle a bu la moitiè de son café, puis le tiers de ce qu'il restait, puis le quart de ce qu'il restait, et ainsi de suite jusqu'à boire le centième de ce qu'il restait.
Aujourd'hui, le café est très chaud. Julie boit le centième du café, puis le quatre-vingt-dix-neuvième de ce qu'il reste et ainsi de suite jusqu'à boire la moitiè de ce qu'il reste.

1) Montrer qu'aujourd'hui, Julie a bu 198 mL de café.

2) Déterminer la quantité de café qui restait dans la tasse hier, et démontrer que 1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+ ... + 1/(99×100)=99/100.

3) Au lieu de boire 1/2, 1/3, ... , 1/100 de son café, elle boit maintenant 1/2k, 1/3k, ... , 1/100k où k est un entier naturel non nul. Quelle quantité a-t-elle but si k=2?

4) Au lieu de boire 1/100, 1/99, ... , 1/2 de son café, elle boit maintenant 1/100k, 1/99k, ... , 1/2k où k est un entier naturel non nul. Quelle quantité a-t-elle but si k=2?

5) Pour k quelconque, a-t-elle pu boire plus, moins ou autant de café si elle commence par boire 1/2k ou 1/100k de son café?

Remarque : l'ai laissé l'énoncé tel quel, mais...

-vers une solution-


?


On appelle Sando un ensemble A de réels tels que pour tout x dans A, 2x ne soit pas dans A (cad le double d'un élément de A n'est pas dans A).
Ici, on ne s'intéressera qu'aux Sando qui sont union (finie) d'intervalles disjoints, tous inclus dans [0;1].
On appelle longueur d'un tel Sando, la somme des longueurs des intervalles le constituant.
Dans tout ce qui suit, même si cela n'est pas explicitement dit, tout intervalle considéré sera non vide et dans [0;1].

1)
a) Un Sando peut-il contenir 0?
b) Un Sando peut-il contenir un intervalle de la forme ]0;a] ou ]0;a[?
c) [0,11;0,22[ U [0,45;0,9[ est-il un Sando? Si oui, quelle est sa longueur?

2)
a) Soit ]a;b] un intervalle : donner une condition nécessaire et suffisante reliant a et b pour que ce soit un Sando.
b) Parmi tous les intervalles de la forme ]a;b] qui sont des Sando, montrer qu'il en existe un et un seul ayant la plus grande longueur.

3) On pose I1=]0,5;1] et I2=]0,125;0,25].
a) Montrer que I1, I2 et I2 U I1 sont des Sando.
b) Montrer que si un Sando contient I1, il n'a aucun élément dans ]0,25;05] et que sa longueur ne dépasse pas 0,75.
c) Question analogue pour un Sando contenant I2 U I1
d) Trouver un intervalle I3 de longueur 0,03125 tel que I3 U I2 U I1 soit un Sando.

4) On pose pour n dans N*, Ln=0,5/4n-1+0,5/4n-2+...+0,5/4+0,5 : L1=0,5 et L2=0,5/4+0,5.
a) Montrer que Ln=k(1-1/4n) où k est une constante que l'on déterminera.
b) Trouver une suite géométrique an définie pour n dans N* telle que In=]an/2;an] pour n=1,2.
c) Dans tout ce qui suit, pour n dans N*, In sera l'intervalle ]an/2;an] : montrer que In U In-1 U ... U I1 est un Sando : par quoi peut-on majorer sa longueur?

5)
a) Montrer que si S est un Sando de longueur L, alors il existe un Sando de longueur L' contenant I1 avec L'≥L.
b) Même question si on remplace I1 par I2 U I1.

6) n étant quelconque dans N*, on admettra que si S est un Sando de longueur L, alors il existe un Sando S' de longueur L' contenant le Sando Sn=In U In-1 U ... U I1 avec L'≥L et tel que S'=E U Sn avec E=S ∩ [0;0,25/4n-1]=S' ∩ [0;0,25/4n-1].
Montrer que tout Sando a un longueur inférieure à 2/3, et qu'il n'y a pas de Sando ayant une longueur supérieure ou égale à la longueur de tout Sando.

Note : l'énoncé original "parlait" des Sando les plus longs possibles. C'est comme si on parlait des nombres les plus grands possibles de [2;3[... Pour cette raison, je me suis permis de modifier notablement l'énoncé.

-vers une solution-


Fin des énoncés

Les solutions

Solution Lyon

1) Raisonnons en termes de restes :
le 1er reste est R1=200 : Julie n'a pas encore commencé à boire
le 2ième reste est R2=R1(1-1/100) : Julie commence par boire le 1/100 de la tasse
le 3ième reste est R3=R2(1-1/99) : Julie boit le 1/99 de ce qu'il reste
etc
le kième reste est Rk=Rk-1(1-1/(100-(k-2)), pour k≥2 ; k-1+100-(k-2)=101
et comme elle continue cette façon de boire jusqu'à boire la moitié de ce qui reste, le dernier reste va correspondre Ó k tel que 100-(k-2)=2, soit k=100.
le 100ième et dernier reste est R100=R99(1-1/2).
La quantité totale bue est évidemment 200-R100 ; pour obtenir R100, on multiplie membres à membres les 100 égalités ci-dessus, et par simplification par R1, R2, ... , R99, on obtient
R100=200(1-1/100)(1-1/99)(1-1/98).....(1-1/3)(1-1/2)
R100=200×99/100×98/99×97/98× ... ×2/3×1/2
R100=200/100=2 et donc Julie a bu aujourd'hui 200-2=198mL
Remarque :
Julie a bu son café en 99 fois (à l'issue des desquelles les restes sont successivement R2, R3, ..., R100) : en fait à chaque fois, Julie a bu 2mL :

en multipliant membres à membres les égalités donnant R1, R2, ..., Rk et en simplifiant par R1, R2, ..., Rk-1, on obtient
Rk=200(1-1/100)(1-1/99) ... (1-1/(100-(k-2))), soit
Rk=200×99/100×98/99× ... ×(100-k+1)/(100-k+2)
Rk=(200/100)×(100-k+1)=202-2k ; on vérifie que k=1 donne bien 200 et que k=100 donne bien 2!
Et donc Rk+1=202-2k-2 et Rk-Rk+1=2 qui est la quantité bue la kième fois (k=1, 2, ..., 99).

2) On raisonne toujours en termes de restes.
R1=200, mais cette fois,
R2=R1(1-1/2)
R3=R2(1-1/3)
etc
R100=R99(1-1/100), et donc
R100=200(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/100),
et comme a×b=b×a, R100 est le même que celui de la question précédente, à savoir 2mL : donc hier il restait, comme aujourd'hui, la même quantité de café : 2mL, cad Julie a bu la même quantité de café hier et aujourd'hui : 198mL
Remarque :
Mais hier, Julie n'a pas bu la même quantité à chaque fois.
En effet, Rk=200(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/k)=200×(1/2)×(2/3)×(3/4)×...×((k-1)/k)=200/k et ainsi
Rk-Rk+1=200(1/k-1/(k+1))=200/(k(k+1)).
Julie boit donc successivement 200/(1×2)mL, 200/(2×3)mL, ... , 200/(99×100)mL.
Comme en tout elle a bu 198 mL, c'est que 200(1/(1×2)+1/(2×3)+ ... + 1/(99×100))=198, soit 1/(1×2)+1/(2×3)+ ... + 1/(99×100)=99/100, égalité qu'il était demandé de montrer.
Bien entendu, on peut montrer cela sans boire du café : en effet dans le calcul ci-dessus on a "rencontré" la relation 1/k-1/(k+1)=1/(k(k+1)), vraie évidemment pour tout réel k distinct de -1 et 0.
D'où
1/(1×2)+1/(2×3)+ ... + 1/(99×100)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/98-1/99)+(1/99-1/100)
=1-1/100=99/100.

3) En généralisant Q2, R100=200(1-1/2k)(1-1/3k)...(1-1/100k), soit
pour k=2,
R100=200((22-1)/22)((32-1)/32)...((1002-1)/1002), et cf a2-1=(a-1)(a+1),
R100=200((1×3)/22)×((2×4)/32)×((3×5)/42)×...×((97×99)/982)×((98×100)/992)×((99×101)/1002)
On remarque qu'alors au numérateur il y a les facteurs 32, 42,...,992 et ainsi
R100=200((2×100×101)/(22×1002)=200×101/(2×100)=101 : Julie a donc bu 99mL.

4) En généralisant maintenant Q1, R100=200(1-1/100k)(1-1/99k)...(1-1/2k), cad la même chose qu'à Q3, puisque, comme déjà dit, a×b=b×a ; donc, pour k=2, Julie a encore bu 99mL

5) Bof,..., pour tout k, que Julie commence par boire 1/2k ou 1/100k, R100 est toujours le même....

-retour ÚnoncÚ-


Solution ?

1)
a) Un sando ne peut contenir 0, puisque le double de 0 est encore 0!
b) a/3 est dans ]0;a[ (l'intervalle étant non vide, a>0) et son double aussi : donc un Sando ne peut contenir ]0;a[ ; même réponse pour ]0;a] (là on peut prendre a/2 au lieu de a/3).
c) C'est évidemment un Sando (je laisse le lecteur le vérifier) de longueur 0,56.

2)
a)

Conclusion : ]a;b] est un Sando si et seulement si 2a≥b.
b)
Soit ]a;b] un Sando : cf le a) on 2a≥b.
Si on avait b-a>0,5 on aurait 2a>a+0,5, soit a>0,5 d'où b>a+0,5>0,5+0,5=1, ce qui est impossible : donc b-a≤0,5.
On peut évidemment avoir b-a=0,5 puisque, cf le a), ]0,5;1] est un Sando ; mais est-ce le seul de longueur 0,5?
Si b-a=0,5 alors b=a+0,5 et comme b≤1, c'est que a≤0,5 ; mais 2a≥b, donc 2a≥a+0,5 et a≥0,5.
Donc on a à la fois a≤0,5 et a≥0,5 : donc a=0,5 et ainsi le seul Sando de la forme ]a;b] de longueur 0,5 est ]0,5;1].
Conclusion : de tous les Sando de la forme ]a;b], ]0,5;1] est le seul à avoir la longueur la plus grande ( 0,5 ).

3)
a) I1 et I2 sont évidemment des Sando d'après le b) de Q2.
Pour S=I2 U I1 :

Donc S est bien un Sando.

b) Le double d'un élément de ]0,25;0,5] étant dans ]0,5;1]=I1, cet élément ne peut être dans un Sando contenant I1 : donc un Sando contenant I1 n'a aucun élément dans ]0,25;0,5].
Un tel Sando a donc pour longueur celle de I1 plus les longueurs de ses intervalles inclus dans [0;0,25], donc sa longueur est ≤0,5+0,25=0,75.

c) Soit S un Sando contenant I2 U I1 : cf le b) il n'a pas d'éléments dans ]0,25;0,5], et cf le même raisonnement il n'a pas d'élément dans ]0,0625;0,125] et donc la longueur de S est 0,5+0,125 plus les longueurs de ses intervalles inclus dans [0;0,0625],
ce qui donne pour S une longueur ≤0,5+0,125+0,0625=0,6875.

d) On remarque que I2 est le "1/4" de I1 : prenons pour I3 le "1/4" de I2, soit le "1/16" de I1, cad I3=]0,5/42;1/42]=]0,03125;0,0625] : il est bien de longueur 0,03125 et je laisse le lecteur vérifier que I3 U I2 U I1 est bien un Sando (prendre un x dans chacun des 3 intervalles et vérifier que le double n'est dans aucun des 3 intervalles).

4)
a) Il s'agit de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 1/4 :
Ln=0,5(1+(1/4)+(1/4)2+...+(1/4)n-1)=0,5(1-(1/4)n)/(1-1/4)=(2/3)(1-1/4n), cad k=2/3.
Rappel : si q est un réel autre que 1, alors 1+q+q2+...+qn=(1-qn+1)/(1-q) pour tout entier naturel n.

b) Si q est la raison de la suite géométrique an, alors an=a1qn-1 pour tout n dans N*.
Or on doit avoir ]0,5;1]=]a1/2;a1] et ]0,125;0,25]=]a2/2;a2], ce qui équivaut à a1=1 et a2=0,25 donc comme a2=a1q1, la seule possibilité est q=1/4 et donc an=1/4n-1.

c) Posons S=In U In-1 U ... U I1 : pour n=1, et même n=2, on a déjà vu que S est un Sando.
Supposons maintenant n≥2 et soit x dans S :

Donc, pour tout n dans N*, In U In-1 U ... U I1 est bien un Sando.
Pour n≥1, la longueur de l'intervalle ]an/2;an] étant an/2=0,5/4n-1, la longueur du Sando In U ......... U I2 U I1 est Ln=(2/3)(1-1/4n) et donc cette longueur est strictement inférieure à 2/3.

5) C'est la question la plus "délicate"... si on veut la faire proprement.
Remarquons tout d'abord que tout intervalle peut être remplacé par une union d'intervalles disjoints encore dans [0;1], la somme des longueurs de ces intervalles étant la longueur de l'intervalle de départ.
Par exemple ]0,06;0,7]=]0,06;0,25] U ]0,25;0,5] U ]0,5;0,7].
Moyennant cet artifice on peut considérer que tous les intervalles dont un Sando est l'union sont, soient inclus dans [0;0,25], soient inclus dans ]0,25;0,5] soient inclus dans ]0,5;1].
On considère alors l'ensemble S' obtenu ainsi à partir de S :

Bien entendu, si S contient ]0,5;1], cf Q3 il n'a aucun élément dans ]0,25;0,5] et donc S'=S (puisque dans la 2ième étape on ôte que l'intervalle ]0,5;1] que l'on remplace par ]0,5;1]).

Evidemment S ∩ [0;0,25] et S' ∩ [0;0,25] sont égaux, et en notant E cet ensemble, S'=E U ]0,5;1].
Montrons maintenant que S' est encore un Sando dont la longueur L' est ≥L.
Soit x dans S' :

Donc S' est bien un Sando, contenant I1=]0,5;1].
Moyennant l'artifice décrit en début de solution de cette question, la longueur L du Sando S est L=l1+l2+l3 avec Et, alors on a L'=l1+0,5, cf S'=E U ]0,5;1].
En remarquant que si x est dans S ∩ ]0,25;0,5], 2x est dans ]0,5;1] et comme S est un Sando, 2x en fait ne doit pas être dans S, donc l3≤0,5-2l2.
Ainsi L≤l1+l2+0,5-2l2, soit L+l2≤L', et donc L≤L'.
Bien sûr, si S contient ]0,5;1], cf Q3 on a l2=0 et L=l1+0,5=L'.

b) La démonstration est analogue à celle du a), moyennant le même artifice signalé au début du a).
On considère alors l'ensemble S' obtenu ainsi à partir de S :

S ∩ [0;0,0625] et S' ∩ [0;0,0625] sont encore égaux, et en notant E cet ensemble, S'=E U ]0,125;0,25] U ]0,5;1].
Montrons maintenant que S' est encore un Sando dont la longueur L' est ≥L.
Soit x dans S' : Donc S' est bien un Sando, contenant ]0,125;0,25] U ]0,5;1].

La longueur L du Sando S est L=l1+l2+l3+l4+l5 avec

Et, alors on a L'=l1+0,125+0,5.
Par un raisonnement analogue à celui fait au a), on a l3≤0,125-2l2 et l5≤0,5-2l4, donc
L≤l1+0,125-l2+0,5-l4, soit L+l2+l4≤L' et L≤L'

6) Soit S un Sando quelconque de longueur L.
Notons m la borne inférieure des éléments de S, cad la borne inférieure du "plus petit" intervalle de S (rappel : S est une union finie d'intervalles disjoints).
Puisque 1/4n-1 tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, il existe n, suffisament grand, dans N* tel que 1/4n-1<m.
Pour cet n, considérons le Sando S' indiqué par l'énoncé : S'=E U Sn avec E=S ∩ [0;0,25/4n-1]=S' ∩ [0;0,25/4n-1] et il est de longueur L'≥L.
Mais cf 1/4n-1<m, E est l'ensemble vide, donc S'=Sn et ainsi L' est la longueur de Sn, cad L'=(2/3)(1-1/4n)<2/3 (cf Q4) ; finalement L≤L'<2/3, ce qui prouve que
tout Sando a une longueur <2/3.

Terminons en montrant qu'il n'existe pas de Sando ayant une longueur L supérieure ou égale à la longueur de tout Sando :

soit S un Sando de longueur L : cf ci-dessus L<2/3.
Considérons le Sando Sn=In U ... U I1 : sa longueur est Ln=(2/3)(1-1/4n), laquelle a pour limite 2/3 lorsque n tend vers l'infini.
On peut donc rendre Ln aussi proche que l'on veut de 2/3, à condition de choisir n suffisamment grand, ce qui prouve qu'il existe n (suffisamment grand) tel que Ln soit entre L et 2/3 (puisque L<2/3), donc il existe un Sando, à savoir Sn, pour n suffisamment grand, dont la longueur est supérieure à L.
En fait, 2/3 est la borne supérieure des longueurs des Sando considérés dans cet exercice.

-retour ÚnoncÚ-


Fin des solutions

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