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Quelques énoncés 2007 particuliers à chaque académie

 Pour l'instant 2 énoncés : Strasbourg 2, Versailles 1


Strasbourg 2

On dispose d'un ensemble E de nombres réels contenant 0 et 1 et vérifiant la propriété P suivante :
s'il contient certains nombres, distincts, alors il contient aussi leur moyenne.

1) Montrer que E contient 1/4, 3/4, 7/12.

2) Montrer que E contient tous les réels de la forme 1/4n avec n entier naturel et tous les réels de la forme 3/4n, avec n entier naturel non nul.

3) Montrer que E contient 1/5.

4) Est-ce que E contient tous les réels de la forme 1/n avec n entier naturel non nul?
-vers une solution-


Versailles 1

Le plan est muni d'une distance.
On donne les définitions suivantes :

Définition 1 : deux points A et B sont presque égaux signifie que leur distance est strictement inférieure à 0,1 (un dixième d'unité) ;
Définition 2 : deux segments ont presque la même longueur signifie que leurs longueurs diffèrent de moins de 0,1, c'est-à-dire, si l1 et l2 sont leurs deux longueurs, on a |l1-l2|<0,1 ;
Définition 3 : un triangle est presque équilatéral signifie que ses côtés ont presque la même longueur deux à deux.

1) Un triangle rectangle ABC dont l'hypoténuse [BC] a pour longueur 1 peut-il être presque équilatéral?

2) Un triangle rectangle peut-il être presque équilatéral?

3) On considère un segment [BC] de longueur 2, on note I le milieu de [BC]. A tout point A du plan tel que AB=2, on associe son projeté orthogonal H sur la droite (BC).

a) Quel est l'ensemble des points A tels que I et H soient presque égaux?.
b) Si I est presque égal à H, le triangle ABC est-il presque équilatéral?

-vers une solution-


Fin des énoncés

Les solutions

Solution Strasbourg 2

1) Par utilisations successives de la propriété P, on obtient tout de suite :
(0+1)/2=1/2E ; (0+1/2)/2=1/4E ; (1/2+1)/2=3/4E ; (0+3/4+1)/3=7/12E

2) En fait si xE, alors (0+x)/2 est aussi dans E : en effet, soit x=0 et c'est trivialement vrai, soit x0 et on applique P. Donc l'ensemble E vérifie aussi la propriété P' suivante : si un nombre x est dans E, alors x/2 est aussi dans E.
Comme 1E, la propriété P' donne tout de suite que 1/2, puis 1/4, puis 1/8, puis 1/16, etc, appartiennent à E : c'est-à-dire, pour tout entier naturel n, 1/2nE
Remarque : ce résultat étant immédiat (P' étant acquis), une récurrence (notion qui n'est pas au programme de la 1S) n'est pas véritablement nécessaire.
En particularisant ce résultat aux entiers n pairs (n=2p, p entier naturel) on obtient (puisque 22p=4p) que pour tout entier naturel p, 1/4pE, soit pour tout entier naturel n, 1/4nE.
De même, puisque 3/4E, la propriété P' donne tout de suite que 3/8, puis 3/16, puis 3/32, etc, appartiennent à E : c'est-à-dire, pour tout entier naturel (sauf 0 et 1), on a 3/2nE ; en particularisant ce résultat aux entiers naturels pairs, on obtient que pour tout entier naturel non nul, 3/22n=3/4nE.

3) (0+3/8+1/8+7/16+1/16)/5=1/5E ou (0+1/2+1/4+1/16+3/16)/5=1/5E.
Notons aussi que (1/2+3/8+1/8)/3=1/3E.

4) Au cours des questions précédentes on a vu que 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 sont dans E. Et même 1/6 est aussi dans E (cf 1/3 est dans E et P'). Il n'est donc pas impossible que pour tout entier naturel n non nul, on ait 1/n dans E.
A noter que si dans l'énoncé de la propriété P il n'y avait pas la restriction distincts, ce serait évident puisque 1/n=(0+0+...+0+1)/n, avec n-1 zéros dans la parenthèse.

Mais l'énoncé est l'énoncé et donc il faut faire avec cette restriction!
En fait on va prouver que pour tout entier naturel n, 1/n est dans E, en généralisant l'écriture (0+1/2+1/4+1/16+3/16)/5=1/5, obtenue à Q3.
Considérons Sp=1/2+1/22+1/23+...+1/22p, pour p entier naturel non nul.
Sp est une somme de 2p éléments distincts de E (voir Q2), et en utilisant le résultat 1+x+x2+...+=(1-xx+1)/(1-x), pour x1 (voir cours sur sommation d'une suite géométrique), on obtient Sp=(1/2)(1+1/2+(1/2)2+...+(1/2)2p-1)=(1/2)(1-(1/2)2p)/(1-1/2) =1-1/22p.
On remarque alors que 1/22p=1/(4×22p)+3/(4×22p)=somme de deux éléments de E (voir Q2, puisque 4×22p=4p+1).
Finalement 1 est la somme de 2p+2 éléments distincts de E : 1/2, 1/22, .., 1/22p, 1/(4×22p), 3/(4×22p). Leur moyenne qui est 1/(2p+2) est donc dans E. Cela pour tout entier naturel p non nul.
Mais comme 1/2 est dans E, pour tout entier naturel p non nul, 1/(2p) est dans E.
Par exemple 1/2+1/22+1/23+1/24+1/(4×42)+3/(4×42)=1, et donc on retrouve que 1/6E.
Mais 1 est aussi la somme des 2p+3 nombres distincts de E : 0, 1/2, 1/22, .., 1/22p, 1/(4×22p), 3/(4×22p). Donc leur moyenne 1/(2p+3) est dans E, cela pour tout entier naturel p non nul. Comme 1 et 1/3 sont aussi dans E, c'est que pour tout entier naturel non nul p, 1/(2p+1) est dans E.
Par exemple 0+1/2+1/22+1/(4×4)+3/(4×4)=1, et donc on retrouve que 1/5E.
Finalement pour tout entier naturel n non nul, 1/n est bien dans E.

-retour ÚnoncÚ-


Solution Versailles 1

1) Pour que ABC soit presque équilatéral il est nécessaire que

que |AC-BC|=|AC-1|<0,1AC]0,9 ; 1,1[
et que |AB-BC|=|AB-1|<0,1AB]0,9 ; 1,1[
Cela entraîne donc que AC2+AB2>0,92+0,92=1,62>1, et donc AC2+AB2 ne peut êgal à 1=BC2, ce qui est en contradiction avec le fait que ABC est rectangle.
ABC ne peut donc être presque équilatéral.

2) Prenons BC=0,05 et AC=AB=0,05/Í2 : ainsi ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
En fait ce triangle rectangle isocèle ABC est un exemple de triangle rectangle presque équilatéral car

BC-AC=0,05-0,05/Í2@0,015<0,1, donc BC et AC ont presque la même longueur, et comme AC=AB, les côtés de ABC ont presque la même longueur deux à deux.

3) a) Comme I et H sont sur la même droite (BC), I et H seront presque égaux si et seulement si (en notant xI et xH leurs abscisses respectives sur (BC)) xH]xI-0,1 ; xI+0,1[=]0,9 ; 1,1[, c'est-à-dire H est entre les deux points de (BC) H1 (abscisse 0,9) et H2 (abscisse 1,1) situés à la distance 0,1 de I.
Donc l'ensemble des points A tels que I et H sont presque égaux est l'union des deux arcs du cercle de centre B et de rayon 2 situés entre les droites D1 et D2 perpendiculaires à (BC) et passant par les points H1 et H2 : voir figure ci-dessous où ces deux arcs sont coloriés en orange.

b) On considère A tel que AB=BC=2 et tel que I et H soient presque égaux (cad A est sur un des deux arcs de cercle mis en évidence ci-dessus) : il s'agit de voir si ABC est presque équilatéral, c'est-à-dire si |AC-AB|=|AC-2|<0,1 ce qui équivaut à montrer que AC]1,9 ; 2,1[.
Or AC2=AH2+HC2=AB2-HB2+HC2= 4+2(HC-HB), puisque HC+HB=2 ; et |HC-HB|=2HI (par exemple si H est à droite de I, HC=IC-HI, HB=IB+HI et HC-HB=-2HI ; par contre si H est à gauche de I, HC-HB=2HI).
Comme HI<0,1 (puisque H et I sont presque égaux), |HC-HB|<0,2 et HC-HB]-0,2 ; 0,2[, donc AC2]4-0,4 ; 4+0,4[=]3,96 ; 4,04[, soit AC]Í3,96 ; Í4,04[.
On vérifie alors sans peine que 1,92=3,61<3,96, soit 1,9<Í3,96 et 2,12=4,41>4,04 soit 2,1>Í4,04 et donc AC]1,9 ; 2,1[, c'est-à-dire ABC est effectivement preque équilatéral.

-retour ÚnoncÚ-


Fin des solutions

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