Quelques énoncés 2006 particuliers à chaque académie

 Pour l'instant 5 énoncés : Amiens 2 ; Créteil 2 ; Lille 2 ; Montpellier 2 ; Reims 2


Amiens 2


Prouver que parmi cinq nombres réels positifs ou nuls donnés, on peut trouver deux réels a et b tels que

0£ a
1+a2
- b
1+b2
£ 1
8


-vers une solution-


Créteil 2


Sur le parchemin ci-dessous ne figurent qu'un carré, 3 segments et 3 indications de longueur : PD=2, PA=4, PB=6.
Déterminer l'angle(DPA) , de sommet P.


-vers une solution-


Lille 2

Soit ABC un triangle et G son centre de gravité.
On désigne par A', B', C' les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
Les points P, Q, R, S, T, U sont les centres de gravité respectifs des triangles GAC', GBC', GBA', GCA', GCB' et GAB'.
1) Justifier l'égalité PQ+QR+RS+ST+TU+UP=PS+QT+RU.
2) Calculer l'aire de l'hexagone PQRSTU en fonction de l'aire du triangle ABC.

-vers une solution-


Montpellier 2

Sur cette île chaque jour et dans cet ordre, chaque loup tue un mouton, chaque mouton tue un serpent et chaque serpent tue un loup.
Après dix jours il ne reste plus sur l'île qu'un mouton et aucun autre animal.
Combien y avait-il d'animaux de chaque espèce au départ?

-vers une solution-


Reims 2


Sur le courrier que vous recevez par la poste vous avez peut-être remarqué une série de bâtonnets de couleur orange inscrits en bas à droite des enveloppes.
Il s'agit en fait d'un codage du code postal utilisé pour le tri automatique du courrier.
Le  tableau ci-dessous vous montre 5 exemples de code postal avec leur codage en bâtonnets.
Examinez les attentivement afin de trouver quel code postal est représenté par la dernière série de bâtonnets.

Code postal Codage en bâtonnets
51100 ||||  |||| | ||| | |||| | ||
52130 |||| ||| | | ||| || ||| | ||
08400 ||||  |||||  ||||| | |  ||||
75006 | || |  ||||  ||||| | ||||  ||
13007 ||  ||  ||||  |||| ||| | | |||
? |||| | ||| ||| ||  ||||||  |

-vers une solution-


Fin des énoncés

Les solutions

Solution Amiens 2

A mon avis c'est une grosse astuce : on l'a déjà vue et ca va, sinon....
En effet, l'expression a/(1+a2) peut faire penser à une formule trigonométrique : en posant a=tanu, un petit calcul (1+tan2u=1/cos2u) donne

a
1+a2
= sinucosu= 1
2
sin2u


Dans la mesure où pour tout réel a positif ou nul, il existe un et un seul réel u dans l'intervalle [0;p/2[ tel que a=tanu (faire le tableau de variation de la fonction u->tanu sur [0;p/2[), le problème revient à montrer que parmi cinq nombres dans [0;p/2[, on peut en trouver deux, u et v tels que 0£sin2u-sin2v£1/4. Mais lorsque u décrit [0;p/2[, 2u décrit [0;p[ et sin2u décrit [0;1], donc le problème revient à montrer que parmi cinq nombres c1,c2,c3,c4,c5 dans [0;1], on peut en trouver deux, x et y, tels que 0£x-y£1/4.
Quitte à les renuméroter, on peut supposer 0£c1£c2£c3£c4£c5£1 ; considérons alors les quatre différences (qui sont ³0) c2-c1, c3-c2, c4-c3, c5-c4 :
si toutes étaient >1/4, leur somme serait >1, et donc c5-c1>1 soit c5>c1+1³1, soit c5>1, ce qui est impossible : donc il existe au moins une différence ci+1-ci qui est £1/4.
En prenant alors x=ci+1 et y=ci, on a bien trouvé parmi les cinq nombres c1,c2,c3,c4,c5 dans [0;1], deux, x et y, tels que 0£x-y£1/4.
C'est bien ce qu'il fallait prouver.

-retour énoncé-


Solution Créteil 2

Notons a la longueur du côté du carré,
u=angle(DPA), v=angle(APB), w=angle(BPD).
,
et bien entendu rac(x), pour x positif ou nul, désignera la racine carrée de x.

On voit tout de suite qu'on peut appliquer trois fois la fameuse formule d'Al Kachi (?-Environ 1430, dernier grand mathématicien du monde arabe : voir Des Mathématiciens de A à Z, chez Ellipses) :

(1) a2=22+42-16cosu , dans le triangle DPA
(2) a2=42+62-48cosv , dans le triangle APB
(3) 2a2=22+62-24cosw, dans le triangle BPD et en remarquant que DB est la diagonale du carré


On en déduit que nécessairement on a :
(4) cosv=(2+cosu)/3 et cosw=(4/3)cosu
Mais u+v+w=2p  et donc (5) cosu=cos(2p-(v+w))=cos(v+w)=cosvcosw-sinvsinw sinv et sinw étant positifs (puisque v et w sont dans [0;p]),  ils vont s'exprimer à  l'aide des fonctions  cos et  racine carrée :
(6) sinv=rac(1-cos2v) et sinw=rac(1-cos2w)
En reportant (6) et (4) dans (5) on va obtenir une équation d'inconnue x=cosu ; on peut penser qu'elle sera trop compliquée, mais en faisant attention elle va permettre de conclure.
Tout d'abord : sinv=rac(1-(2+x)2/9)=(rac(5-4x-x2))/3 et sinw=rac(1-16x2/9)=(rac(9-16x2))/3.
Donc nécessairement, outre le fait que x doit être dans [-1;1], 5-4x-x2 et 9-16x2 doivent être ³0 et donc x doit être aussi dans [-5;1] et dans [-3/4;3/4] (intérieur des racines), et donc nécessairement xÎ[-3/4;3/4]=I.
Finalement, en posant x=cosu, nécessairement x est dans I et (5) entraîne : (7) x=(4/9)x(2+x)-(1/9)rac((9-16x2)(5-4x-x2)) Û  rac((9-16x2)(5-4x-x2))=4x2-x Donc on a aussi 4x2-x qui doit être positif ou nul, soit x dans ]-inf;0]U[1/4;+inf[ (extérieur des racines) ; comme x est déjà dans I, x doit être en fait dans J=[-3/4;0]U[1/4;3/4]. Pour x dans J,  les deux membres de (7) sont alors positifs ou nuls, donc en élevant au carré ces deux membres on obtient une équation équivalente à (7)  :
(8) (9-16x2)(5-4x-x2)=(4x2-x)2 On remarque tout de suite qu'en développant, les termes de degré 4 vont disparaître, puisque à gauche et à droite il y aura 16x4 : (9) 72x3-902-36x+45=0 Certes, cette dernière équation est du 3ième degré, mais il saute aux yeux que 72 est le double de 36, idem pour 90 et 45! On exploite cela en factorisant 36 et 45, et l'équation devient 36x(2x2-1)+45(1-2x2)=0, et  (9) s'écrit (10) (2x2-1)(36x-45)=0 Les solutions de (10) sont alors faciles à déterminer : 1/rac(2), -1/rac(2) et 45/36 ; mais une solution de (10) est solution de (7) si et seulement si elle est dans J, donc les seules solutions de (7) sont rac(2)/2 et -rac(2)2.
Donc nécessairement cosu=rac(2)/2 ou -rac(2)/2 soit nécessairement u=p/4 ou u=3p/4, puisque u est dans [0;p].
Mais laquelle de ces valeurs est la bonne? Ou ces deux valeurs sont-elles effectivement possibles pour u?
N'oublions pas qu'en toute rigueur on a simplement justifié que si la figure était vraie, alors x=cosu était solution de (10) et dans J.
En fait u=p/4 n'est pas possible :
en effet elle conduit à a2=20-8rac(2), donc a2+22=24-8rac(2)<42 ; or 2×a×2cos(angle(ADP))=a2+22-42<0, d'où cos(angle(ADP))<0 et angle(ADP) est obtu, et donc P serait à l'extérieur du carré!

Donc la seule possibilité pour u est u=3p/4. Mais u est-il effectivement égal à 3p/4?
A mon avis il y a lieu de s'en assurer en faisant une réciproque ; en effet on vient de voir que u=p/4 ne convenait pas, pourquoi u=3p/4 conviendrait forcément?
Prenons u=3p/4, alors cette fois a2=20+8rac(2), 2×a×2cos(angle(ADP))=a2+22-42=8+8rac(2)>0 et angle(ADP) est bien aigu cette fois.
En outre 2×a×4cos(angle(DAP))=a2+42-22=32+8rac(2)>0 et angle(DAP) est aussi aigu, avec cos(angle(DAP))=(4+ra(2))/a.
On n'a donc pas d'impossibilité flagrante comme ci-dessus.
Considérons alors le carré ABCD avec AD2=a2=20+8rac(2), et P le point situé à droite de (AD)  tel que DP=2, PA=4 : il existe et est unique ( on considère les cercles de centre D de rayon 2 et de centre A de rayon 4 qui sont sécants en deux points car a<2+4, puisque a2-36=8(rac(2)-2)<0, et un seul de ces points est à droite de (AD)) ; en outre P est bien  à l'intérieur du carré (car 2 et 4 sont inférieurs à a) et on a bien sûr angle(DPA)= 3p/4,  puisque cos(angle(DPA))=(22+42-AD2)/(2×2×4)=-rac(2)/2.
Mais a-t-on PB=6?
PB2=42+a2-2×a×4cos(angle(PAB)) ; mais cos(angle(PAB))=cos(p/2-angle(DAP))=sin(angle(DAP)), d'où (voir plus haut les valeurs de a2 et cos(angle(DAP)) )
PB2=36+8rac(2)-8a×rac(1-(4+rac(2))2/a2)=36+8rac(2)-8rac(a2-18-8rac(2))=36+8rac(2)-8rac(2)=36 et on a bien PB=6.

En conclusion u=angle(DPA)=3p/4.

Remarque : une autre solution. Elle m'a été proposée par Daniel Dubuisson.
Cette autre méthode est beaucoup plus rapide pour prouver que nécessairement angle(DPA)=3p/4 (mais il reste toujours à vérifier que cette valeur convient effectivement).
Je l'ai mise en dernier afin que le lecteur l'apprécie davantage après... avoir transpiré sur la mienne!

L'idée consiste à utiliser un repère orthonormé d'origine A, l'axe des abscisses étant la droite (AB) dirigée de A vers B, et l'axe des ordonnées la droite (AD) dirigée de A vers D.
On a donc les cordonnées suivantes : A(0,0) B(a,0) D(0,a) P(x,y), et au lieu d'utiliser trois fois Al-Kashi on utilise trois fois la formule donnant la distance entre deux points en fonction des coordonnées : AB2=(xB-xA)2+(yB-yA)2

PA=4 donne x2+y2=16
PB=6 donne (a-x)2+y2=36
PD=2 donne x2+(a-y)2=4

Par soustraction membres à membres des deux premières on obtient x=(a2-20)/(2a),
et par soustraction membres à membres de la 1ère et de la 3iéme on obtient y=(a2+12)/(2a).
En reportant ces valeurs dans x2+y2=16 on trouve a4-40a2+272=0.
L'équation est cette fois du 4iéme degré, mais elle est bicarrée : en posant X=a2, on obtient une équation du 2iéme degré : X2-40X+272=0 dont les solutions sont 20+8rac(2) et 20-8rac(2).
Donc a2=20+8rac(2) ou 20-8rac(2) ; mais P est à l'intérieur du carré, donc BP<BD, soit 6<a×rac(2), donc 18<a2, et la seule possibilité pour a2 est 20+8rac(2) ; a étant positif, cela donne une seule possibilité pour a.
La relation (1) de la méthode précédente (Al Kashi dans le triangle DPA) donne cos(angle(DPA))=(a2-20)/(-16)=-rac(2)/2, et comme cet angle est entre 0 et p, nécessairement angle(DPA)=3p/4.
Au lieu d'utiliser Al Kashi, on peut considérer le produit scalaire des vecteurs PA(-x,-y) et PD(-x,a-y) :

en utilisant la formule produit des abscisses plus produit des ordonnées, on obtient x2-y(a-y)=16-(a2+12)/2=-4rac(2),
et en utilisant la formule cosinus de l'angle fois le produit des normes, on obtient cos(angle(DPA))×PA×PD=8cos(angle(DPA)).
D'où 8cos(angle(DPA))=-4rac(2) et on retrouve bien cos(angle(DPA))=-rac(2)/2.

retour vers l'énoncé



Solution Lille 2

Soient I,J,K les milieux respectifs de [GA], [GB], [GC].


1) Considérons le triangle GAC' : P étant son centre de gravité et (C'I) une médiane, on a C'P/C'I=2/3 et même plus : vec(C'P)=(2/3)vec(C'I) ; de même, en considérant le triangle GBC', vec(C'Q)=(2/3)vec(C'J) et C'Q/C'J=2/3 ; donc (par exemple) l'homothétie de centre C' et de rapport 2/3 transforme I en P et J en Q, d'où vec(PQ)=(2/3)vec(IJ) et PQ=(2/3)IJ ; mais IJ=AB/2 (droite des milieux dans le triangle AGB) et donc PQ=AB/3.
Bien entendu on aurait pu dire que les deux triangles QC'P et JC'I ayant un angle respectivement égal compris entre deux côtés proportionnels sont semblables, ce qui permettait aussi de conclure à PQ/IJ=2/3.
De même RS=(2/3)JK=BC/3 et TU=(2/3)IK=AC/3.
Considérons cette fois le triangle A'KB' : on a KT=KB'/3 (considérer le triangle GCB' de centre de gravité T et de médiane (B'K)) et KS=KA'/3 (considérer le triangle GCA'...) ; donc (homothétie ou triangles semblables) on a ST=A'B'/3, soit ST=AB/6.
De même UP=BC/6 et QR=AC/6 .
D'où PQ+QR+RS+ST+TU+UP=(1/3+1/6)(AB+BC+CA)=(AB+BC+CA)/2.
Reste donc à montrer que PS+QT+RU=(AB+BC+CA)/2.
G étant le centre de gravité de ABC on a C'G=GK=C'C/3 et A'G=GI=A'A/3 : donc G est le milieu de [IA'] et [KA'] et ainsi IC'A'K est un parallégramme. On a donc l'égalité de vecteurs vec(IC')=vec(KA'), et en divisant par 3 on obtient vec(IP)=vec(IK) et IKSP est un parallégramme lui aussi : donc PS=IK et comme IK=AC/2 (droite des milieux dans CGA) on a PS=AC/2 (en fait on a vec(PS)=vec(IK), vec(IK)=(1/2)vec(AC), vec(PS)=(1/2)vec(AC) ).
De même QT=BC/2 et RU=AB/2 et ainsi PS+QT+RU=(AB+BC+CA)/2.

On a bien PQ+QR+RS+ST+TU+UP=PS+QT+RU, ces deux quantités étant égales à (AB+BC+CA)/2, quantité qui n'est autre que le demi-périmètre du triangle ABC.

2) Soient X et Y les milieux respectifs de [CB'] et [AB'].
(GX) est donc une médiane de GCB' dont le centre de gravité est T : donc vec(GT)=(2/3)vec(GX) ; de méme en considérant (GY) et GAB' on a vec(GU)=(2/3)vec(GY).
L'homothétie de centre G et de rapport 2/3 transforme donc X en T, Y en U et bien sûr G en G : le triangle GXY est transformé en le triangle GTU. Comme une homothétie multiplie les aires par le carré de son rapport, aire(GTU)=(4/9)aire(GXY).
Mais XY=AC/2 et comme la hauteur issue de G des triangles GAC et GXY est la même on a aire(GXY)=aire(GAC)/2 ; enfin il est "bien connu" que G partage le triangle ABC en trois triangles de même aire, soit aire(GAC)=aire(ABC)/3 ; ( cela se démontre en remarquant que les triangles ABC et GAC ont la méme base [AC] et la hauteur de GAC issue de G est le 1/3 de la hauteur de ABC issue deB, d'après Thalés ).
Finalement aire(GTU)=(4/9)×(1/2)×(1/3)aire(ABC)=(2/27)aire(ABC).
De même les aires de GUP,GPQ, GQR, GRS, GST sont égales à (2/27)aire(ABC), et on arrive à la conclusion :

l'aire de l'hexagone PQRSTU est 6×(2/27)aire(ABC)=(4/9)aire(ABC).

-retour énoncé-


Solution Montpellier 2

On a tout de suite, sous réserve que 0£l£m, 0£s£m, m£s+l :

loupsmoutonsserpents
effectifs le matinlms
effectifs le soirm-sm-ls+l-m

Remarque : si on avait l>m, alors le soir, le nombre de moutons ne serait pas m-l (qui est <0), mais 0, le nombre de serpents serait s et le nombre de loups l-s ...si s£l, sinon ce serait 0 : par exemple (10,5,11) le matin donne (0,0,11) le soir, ce qui n'a rien à avec (5-11,5-10,10+11-5)=(-6,-5,16)!

Le problème est de remonter les calculs, puisque on nous donne les effectifs au bout de dix jours. Il faut connaissant les effectifs le soir, en déduire ceux du matin.
Par résolution du systéme d'inconnues l,m,s et d'équations

m-s=k
m-l=k'
s+l-m=k"

on trouve l=k+k", m=k+k'+k", s=k'+k" ; en prenant k, k', k" tous ³0, on a bien 0£l£m, 0£s£m, m£s+l et donc on a :

loupsmoutonsserpents
effectifs le matin
ou la veille au soir
k+k"k+k'+k"k'+k"
effectifs le soir
kk'k"


Il suffit alors, en partant du triplet 0,1,0, d'exécuter dix fois de suite l'algorithme qui fait passer du triplet (k,k',k") au triplet (k+k",k+k'+k",k'+k") ; avec un tableur c'est immédiat, mais c'est faisable à la main assez rapidement ( avec risque d'erreur ).
On obtient :

loupsmountonsserpents
effectifs le soir du 10 ième jour010
effectifs le soir du 9 ième jour
011
effectifs le soir du 8 ième jour
122
effectifs le soir du 7 ième jour
354
effectifs le soir du 6 ième jour
7129
effectifs le soir du 5 ième jour
162821
effectifs le soir du 4 ième jour
376549
effectifs le soir du 3 ième jour
86151114
effectifs le soir du 2 ième jour
200351265
effectifs le soir du 1 ier jour
465816616
et enfin,
les effectifs au départ sont
108118971432


-retour énoncé-

solution Reims 2

Que remarquer? A chaque fois 20 bâtonnets sont utilisés : on peut alors se dire, puisqu'il y a cinq chiffres à coder, c'est que pour coder un chiffre on utilise cinq bâtonnets. Erreur!!
Ce n'est pas aussi simple que cela : il y a des "paquets" de 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 de bâtonnets. Pourquoi ca monte jusqu'a 6?
Et puis il y a entre ces "paquets" des espaces qui sont inégaux : soit un espace correspond à l'emplacement possible d'un bâtonnet, soit à l'emplacement possible de deux bâtonnets. La taille de ces espaces est-elle vraiment à prendre en compte, ou est-ce une fantaisie sans importance au moment de la frappe?
Bref, pour moi ca été la bouteille à l'encre!

En fait ces espaces entre groupes de bâtonnets sont presque la clé du problème!
En effet, numérotons de 1 à 30, et à partir de la droite, les positions susceptibles d'être prises par les bâtonnets, les espaces étant pris en compte aussi ; pour le codage de 75006 et 13007, ca monte effectivement jusqu'à 30.
On s'apercoit alors que les positions 1,7,13,19,25 sont toujours occupées par un bâtonnet! (vous me direz et aussi la 15ième!! : là l'énoncé aurait pu l'éviter, en choisissant un code postal où la position 15 n'est pas occupée par un bâtonnet).
J'appelerai ces cinq positions des séparateurs, et après coloriage en rouge de ces séparateurs le tableau de l'énoncé devient :

Code postal Codage en bâtonnets
51100 ||||  |||| | ||| | |||| | ||
52130 |||| ||| | | ||| || ||| | ||
08400 ||||  |||||  ||||| | |  ||||
75006 | || |  ||||  ||||| | ||||  ||
13007 ||  ||  ||||  |||| ||| | | |||
? |||| | ||| ||| ||  ||||||  |


Bien sûr entre deux séparateurs consécutifs on peut mettre cinq bâtonnets, de même qu'à gauche du dernier séparateur (celui en position 25).
Et là si on observe bien, il y a beaucoup de cas où immédiatement après (cad à gauche) du séparateur il y a trois bâtonnets accolés : et, en ne considèrant que le codage des cinq codes postaux donnés, on compte 8 de ces cas, alors qu'il y a aussi 8 zéros qui apparaissent dans ces cinq codes postaux.
C'est la clé : le chiffre 0 doit être codé par trois bâtonnets juste après un séparateur, et en outre, l'ordre de codage des chiffres du code postal est inversé, puisque par exemple pour 51100 et 08400, qui finissent par deux zéros, la série de bâtonnets commence par deux de ces cas! Ce double aspect se vérifie pour tous les autres 0.
On observe aussi qu'entre deux séparateurs consécutifs il y a toujours trois bâtonnets (et seulement trois) alors qu'il y a 5 positions possibles (idem pour à gauche du dernier séparateur, celui en position 25) ; or combien y a-t-il de façons de placer trois bâtonnets parmi cinq emplacements possibles?
Ca revient à choisir deux emplacements où on ne les mettra pas : 5 choix pour le 1er, 4 pour le 2ième et on divise par deux, puisque peu importe l'ordre. Il y a donc 5×4/2=10 possibilités, qui est justemment le nombre de chiffres à coder!
Un chiffre du code postal doit donc donc être codé par une disposition particulière de trois bâtonnets parmi les cinq positions possibles entre deux séparateurs consécutifs. On l'a déjà vérifié pour le chiffre 0 ; on le vérifie aussi pour le chiffre 5 qui apparaît trois fois dans les codes postaux : à chaque fois on trouve |:|:| (le deux-points signifie que c'est une position non occupée par un bâtonnet), et le fait que l'ordre de codage des chiffres du code postal soit inversé se confirme : les deux 5 de 51100 et 52130 sont bien codés par |:|:| que l'on trouve non pas au début de la série de bâtonnets mais à la fin, entre le 1er et 2ième séparateur.
Par observation du tableau (pour les 5 codes connus), on peut alors lire le codage des chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7,8 et on déduira le codage du chiffre 9 (qui n'apparaît pas dans le tableau de l'énoncé) :

chiffre codage
avec 3 bâtonnets
sur 5 positions
(les deux deux-points symbolisent les
positions non prises par les bâtonnets)
0::|||
1:|:||
2:||:|
3:|||:
4|::||
5|:|:|
6|:||:
7||::|
8||:|:
9|||::
(cette disposition est la seule
qui n'apparaît pas parmi les neuf ci-dessus
et donc c'est elle qui code le chiffre 9)

Et maintenant, il n'y a plus qu'à appliquer la recette ci-dessus pour déchiffrer la dernière série de bâtonnets de l'énoncé : il représente le code postal 94310

retour vers l'énoncé


Fin des solutions

présentation olympiades