Quelques énoncés 2003 particuliers à chaque académie

 Pour l'instant 3 énoncés: Nantes, Poitiers, Versailles


Nantes 2003

Un bus effectue la navette entre 2 points A et D ; il ne marque que 2 arrêts (notés B et C dans cet ordre lors du trajet aller) entre les terminus A et D en parcourant ainsi 3 sections.
Un contrôle effectué sur un aller-retour A-D donne les informations suivantes :
--- pour le trajet aller A-D :
- 6 voyageurs sont montés en B et 5 en C
- 3 voyageurs sont descendus en B et 9 en C
- 12 voyageurs ont fait tout le trajet aller
- un seul voyageur n'est ni monté en A, ni descendu en D
--- pour le trajet retour D-A :
- 9 voyageurs en tout sont montés en C ou en B
- 7 voyageurs en tout sont descendus en C ou en B
- 4 voyageurs ont parcouru une seule section quelconque
- 10 voyageurs ont parcouru 2 sections successives
- 16 voyageurs ont parcouru les 3 sections
Quel doit être le nombre minimum de places assises dans ce bus pour que jamais personne ne reste debout ?

Solution

Voici un tableau récapitulatif de certaines hypothèses et ....inconnues!

La 2ième ligne donne le nombre de voyageurs montés à la station, la 3ième ceux descendus, la 4ième le total de voyageurs au départ de la station :

stations à l'aller, puis au retour A B C D C B
montés ? 6 5 t u v
descendus ? 3 9 22 u' v'
effectif au départ x x+3 x-1 x+t-23 x+t-23+u-u' x+t-21

 

Pour commencer, expliquons le 22 et le x+t-21 et le fait que x£24 ; ne pas hésiter, si vous n'êtes pas convaincu, à m'écrire ; cependant le faire avec "délicatesse" car j'ai transpiré pour trouver cette solution!!

E1) puisqu'un seul voyageur n'est ni monté en A, ni descendu en D c'est que parmi les 11 montés en B ou C, 10 sont descendus en D, "le 11ième" étant celui non monté en A et pas descendu en D ; très probablement ce 11ième est monté en B et descendu en C.

E2) mais puisque 12 ont fait tout le trajet aller, c'est que parmi ceux montés en A, 12 sont descendus en D (ils ne vont pas continuer après...pour s'arrêter en B ou C alors qu'ils viennent d'y passer!) et donc le total de ceux descendus en D est 10(voir E1)+12=22.

E3) les x voyageurs au départ de A se répartissent en 3 catégories disjointes (puisqu'ils ne vont pas "s'amuser" à aller après D) :

ceux descendus en B, au nombre de 3 (ceux descendus en B ne peuvent que venir de A)

ceux descendus en C : leur nombre est inférieur ou égal à 9

ceux descendus en D : leur nombre est 12 (voir E2)

et donc x£24

E4) u,u',v,v' ne sont pas connus mais u+v=9, u'+v'=7 et ainsi u-u'+v-v'=2 et donc l'effectif au départ de B est x+t-23+u-u'+v-v'=x+t-21

On va maintenant exploiter les 4 nombres 4,10,16 relatifs au trajet retour : ils vont permettre de montrer que x+t-23=21 et u-u'=7.

E5) les voyageurs du trajet retour se répartissent en 6 catégories disjointes :

ceux qui ne font que D-C : leur nombre est u' (étaient en D et decendent à C)

ceux qui ne font que C-B : leur nombre est p (montent à C et descendent à B)

ceux qui ne font que B-A : leur nombre est v (montent à B et descendent à A, sinon ils reviennent en B! )

donc u'+p+v=4 , relation notée R1

ceux qui ne font que D-C-B : leur nombre est q (étaient en D et descendent en B)

ceux qui ne font que C-B-A : leur nombre est r (montent en C et descendent en A)

donc q+r=10, relation notée R2

ceux qui font D-C-B-A : leur nombre est 16

En considérant les effectifs au départ des stations de retour, on obtient 3 autres relations :

au départ de D : x+t-23=u'+q+16, nombre que je noterai K

au départ de C : x+t-23+u-u'=p+q+r+16 soit p+q+r+16=K+u-u'

au départ de B : x+t-21=v+r+16 soit v+r+16=K+2

On ajoute (quelle cuisine, je sais...) les effectifs au départ de D et B : u'+q+v+r+32=2K+2 soit (voir R2) u'+v+42=2K+2, et (voir R1) on a 4-p+42=2K+2 soit p=44-2K, relation notée R3 .

En reportant v=9-u (hypothèse) dans u'+v+42=2K+2 (voir ligne précédente ) on obtient u-u'=49-2K, relation notée R4 .

Enfin, l'égalité p+q+r+16=K+u-u' (voir effectif au départ de C) donne, compte tenu de R2, p+26=K+u-u' et, compte tenu de R3, on obtient 44-2K+26=K+u-u' soit u-u'=70-3K et (voir R4) on a donc 49-2K=70-3K :

soit K=21 et u-u'=7 (d'après R4).

Les effectifs au départ des stations du trajet retour sont donc

pour D : x+t-23=K=21, pour C : x+t-23+u-u'=21+7=28 et pour B : x+t-21=K+2=23.

Finalement :

stations à l'aller, puis au retour A B C D C B
effectif au départ x x+3 x-1 21 28 23

Comme on a vu plus haut que x£24, il faut au minimum 28 places pour qu'aucun voyageur ne reste debout.


Poitiers 2003

Soit un segment [AB] de longueur 4. Un point O peut se déplacer sur [AB].

O est l'origine d'une tige articulée constituée de deux segments [OI] et [IJ] :

OI=5 et [OI] peut pivoter librement autour de O.

IJ=1 et [IJ] peut pivoter librement autour de I.

1) Déterminer et représenter l'ensemble D des positions que peut prendre le point J lorsque O est en A.

2) Déterminer et représenter l'ensemble E des positions que peut prendre le point J lorsque O se déplace sur [AB].

3) Quelle est l'aire de E?

 

Solution

1) D'après l'inégalité triangulaire on a AJ£AI+IJ=6 et AI£IJ+JA, soit AJ³AI-IJ=4 et donc J est dans la couronne circulaire délimitée par les cercles de centre A de rayon 4 et 6 (zone en jaune ci-dessus) ; réciproquement tout point L situé dans cette couronne est effectivement une position possible d'un point J, celui correspondant à un point I tel que AI=5 et LI=1, c'est-à-dire à un point I situé à l'intersection des cercles de centre A, de rayon 5 et de centre L, de rayon 1. Donc l'ensemble D est la totalité de la couronne circulaire ci-dessus.

2) Par translation sur la droite de l'ensemble D on voit que l'ensemble E est l'ensemble ci-dessus colorié en jaune ou vert ; son aire est donc celle d'un cercle de rayon 6 + celle d'un rectangle de côtés 4 et 12 - celle de la zone coloriée en rose.

aire(E)=36p+48-2×z avec z=aire de la zone délimitée par l'arc de cercle G allant de V à U en passant par A et le segment [UV].

z=aire secteur circulaire délimité par G et les segments [UB] et [VB] - aire du triangle UVB

z=(120/360)×16p-2×aire du triangle UKB

z=(16/3)×p-UK×KB

or KB=2 et UK=rac(42-22)=2rac(3) et z=(16/3)×p-4rac(3)d'où finalement

aire(E)=(76/3)×p+48+8rac(3)@141,4.


Versailles 2003

Dans tout ce qui suit, les polygones considérés sont convexes, et pour chaque sommet S d'un polygone, on notera angle(RST)=angle(TSR) l'angle de côtés [SR] et [ST] ou tout simplement angle(S) , si R et T sont les sommets voisins de S.

1) Soit ABCD un quadrilatère tel que :
la diagonale [AC] divise chacun des angles angle(A) et angle(C) en deux angles égaux,
la diagonale [BD] divise chacun des angles angle(B) et angle(D) en deux angles égaux.
a) Prouver que ABCD est un losange.
b) Le losange ABCD est-il nécessairement un carré?

2) Soit maintenant un pentagone ABCDE tel que les deux diagonales issues du sommet A (respectivement B,C,D,E) divise angle(A) (respectivement angle(B), angle(C), angle(D), angle(E) ) en trois angles égaux.
Prouver que ABCDE est un pentagone régulier.

3) Soit enfin S1S2....S2003 un polygone à 2003 sommets tel que pour chaque sommet Si, les 2000 diagonales issues de Si divisent angle(Si) en 2001 angles égaux.
Prouver que le polygone S1S2...S2003 est un polygone régulier.

Solution

Tout d'abord il me semble nécessaire de préciser la notion de polygone régulier : c'est un polygone à n côtés égaux et inscrit dans un cercle (définition 1)

Cette définition est équivalente à dire qu'il s'agit d'un polygone convexe à n côtés égaux et les angles en chaque sommet étant égaux (définition 2).

Définition 1 Þ Définition 2 :

si O est le centre du cercle circonscrit au polygone de sommets Si, tous les triangles OSiSi+1 (qui sont isocèles) sont isométriques entre eux ( 3 côtés respectivement égaux) et donc angle(SiOSi+1) est un angle constant a=2p/n ; d'où, par exemple, angle(S1S2O)=angle(OS2S3)=(p-a)/2 et angle(S1S2S3)=p-a : tous les angles du polygone sont égaux à p-a.

Définition 2 Þ Définition 1 :

soit a la valeur commune de tous les angles du polygone et notons Di la bissectrice (demi-droite intérieure au polygone) de l'angle(Si).

D1 et D2 se coupent en O, D2 et D3 se coupent en U ; OS1S2 et US2S3 sont 2 triangles isocèles isométriques (1 côté, 2 angles adjacents), donc OS1=US2 et OS2=US2 ; comme O et U sont sur une même demi-droite D2 on a O=U, et de proche en proche toutes les bissectrices se coupent en un même point O équidistant de tous les sommets.

Passons à la résolution de l'exercice.

1) Une petite figure, en cochant les divers angles égaux, montrent que les triangles ABC et ADC sont isométriques ( 1côté, 2 angles adjacents ) et donc AB=AD, BC=BD ; de même DAB et DCB sont isométriques et DA=DC, AB=CB. Finalement AB=AD=DC=BC : c'est un losange qui n'a aucune raison d'être un carré.

2) Là encore faire une figure pour mieux suivre ( pour la question suivante, qui est une généralisation, je les ai faites!).

En considérant les triangles AED et ADC on a : angle(E)+angle(D)/3=(2/3)angle(D)+(2/3)angle(C)=p-angle(A)/3, soit angle(D)=3angle(E)-2angle(C).

En considérant les triangles BED et BDC on a (2/3)angle(E)+(2/3)angle(D)=angle(D)/3+angle(C)=p-angle(B)/3, soit angle(D)=3angle(C)-2angle(E).

D'où 3angle(E)-2angle(C)=3angle(C)-2angle(E), soit angle(C)=angle(E) et angle(D)=3angle(C)-2angle(C)=angle(C) et ainsi

les 3 angles consécutifs angle(C), angle(E), angle(D) sont égaux.

De même, en considérant d'autres triangles....., on montrerait que les angles angle(C), angle(B), angle(A) sont égaux et ainsi tous les angles du polygone sont égaux à un même angle a.

Mais ABC est isocèle en B (ses angles en A et C sont a/3) et donc BA=BC, etc...: tous les côtés du polygone sont égaux et donc (voir définition 2 plus haut) c'est un pentagone régulier.

3) Je vais traiter la question en généralisant le raisonnement fait à la question précédente et en remplacant 2003 par un entier n impair ³5, ce qui ne compliquera absolument pas.

Quelques remarques préliminaires :

--pour tout entier k>n le sommet Sk désignera en fait le sommet Sk-n et pour k<0, il désignera le sommet Sk+n

--en chaque sommet Si il y a n-3 diagonales qui partagent angle(Si) en n-2 angles égaux (n-3= nombres de sommets distincts de Si et de ses 2 sommets adjacents).

--considérons le triangle Sj-1SjSi : angle(SiSj-1Sj)=k/(n-2) et angle(SiSjSj-1)=k'/(n-2) avec k et k' deux entiers tels que k+k'=n-1 ( en effet k est le nombre de sommets strictement situés entre Sj-1 et Si, du côté où se trouve Sj, et k' est le nombre de sommets strictement situés entre Sj et Si, du côté où se trouve Sj-1 : ainsi k+k' est le nombre de tous les sommets sauf Si, donc égal à n-1).

n étant impair, n-2 est aussi impair et s'écrit n-2=2p+1³3 ( p entier) et n-1=2p+2.

Pour tout iÎ{1;2;...;n} il existe donc un sommet Sj tel que angle(Si-1SiSj)=(p/(n-2))angle(Si) et angle(SjSiSi+1)=((p+1)/(n-2))angle(Si) ; comme p³1, p+1³2 et donc entre Sj et Si+1 il y a d'autres sommets : au moins Sj-1, d'où la configuration ci-dessus, licite puisque on a au moins 5 sommets (par hypothèse n³5).

Considérons les 2 triangles de sommet Sj et de bases [Si-1Si] et [SiSi+1] :

(u/(n-2))angle(Si-1)+(p/(n-2))angle(Si)=((p+1)/(n-2))angle(Si)+(v/(n-2))angle(Si+1)=p-(1/(n-2))angle(Sj) ; mais cf une des remarques préliminaires u+p=n-1=2p+2 et p+1+v=n-1=2p+2 et ainsi u=p+2 et v=p+1, ce qui donne :

(p+2)angle(Si-1)+pangle(Si)=(p+1)angle(Si)+(p+1)angle(Si+1) soit

angle(Si)=(p+2)angle(Si-1)-(p+1)angle(Si+1).

De même en considérant les 2 triangles de sommet Sj-1 et de bases [Si-1Si] et [SiSi+1] on obtient : (p+1)angle(Si-1)+(p+1)angle(Si)=(p)angle(Si)+(p+2)angle(Si+1) soit

angle(Si)=(p+2)angle(Si+1)-(p+1)angle(Si-1).

D'où, par comparaison des 2 relations donnant angle(Si), on obtient (2p+3)angle(Si-1)=(2p+3)angle(Si+1), soit angle(Si-1)=angle(Si+1) ; en reportant ce résultat dans une des relation précédente on trouve angle(Si)=angle(Si-1)=angle(Si+1), et comme cela est vrai pour tout i, c'est que tous les angles du polygone sont égaux.

Soit a leur valeur commune ; le triangle Si-1SiSi+1 est isocèle en Si puisqu'il a deux angles égaux à a/(n-2) donc pour tout i³1 on a Si-1Si=SiSi+1 : tous les côtés du polygone sont égaux entre eux, il est donc bien régulier.

Et si n était un entier pair? (la question n'était pas posée).

Dans ce cas n-2 est pair et n-2=2p , soit n-1=2p+1. Supposons n³6, soit p³2 (on verra plus loin pourquoi).

Cette fois, pour tout iÎ{1;2;...;n} il existe un sommet Sj tel que angle(Si-1SiSj)=(p/(n-2))angle(Si) et angle(SjSiSi+1)=(p/(n-2))angle(Si) ; comme p³2, entre Sj et Si+1 il y a d'autres sommets : au moins Sj-1, d'où la configuration ci-dessous, licite puisque on a au moins 6 sommets (par hypothèse n³6).

En considérant les 2 triangles de sommet Sj et de bases [Si-1Si] et [SiSi+1], puis les 2 triangles de sommet Sj-1 et de bases [Si-1Si] et [SiSi+1] et par des calculs en tous points analogues aux précédents on montre que angle(Si)=angle(Si-1)=angle(Si+1), donc que tous les angles sont égaux, puis que tous les côtés sont égaux : c'est encore un polygone régulier.

On notera que ce raisonnement suppose que les sommets Sj,Sj-1,Si-1,Si,Si+1 soient distincts et donc que n³5, mais comme n est pair, il faut que n soit supérieur ou égal à 6 ; ceci explique pourquoi dans le cas n=4 le polygone n'est pas forcément régulier : voir 1ière question!


présentation olympiades